Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 4)

58. Hình học tọa độ là gì?

Hình học tọa độ là lĩnh vực nghiên cứu hình học bằng phương pháp đại số.

Hình học tọa độ khai thác có hệ thống thực tế là có một sự tương ứng tự nhiên giữa các số thực và các điểm trong không gian.

Lấy một điểm O bất kì nằm trên một đường thẳng. Gọi nó là gốc tọa độ, tức là điểm xuất phát cho mọi phép đo dọc theo đường thẳng đó. Khi ấy, mỗi số thực tương ứng với một điểm trên đường thẳng đó, và ngược lại. Số thực đó được gọi là tọa độ của điểm tương ứng.

Xét hai đường thẳng vuông góc nhau, gọi là hai trục tọa độ, Ox và Oy, cùng đi qua gốc tọa độ O. Khi ấy, vị trí của một điểm P bất kì trong mặt phẳng được xác định bởi khoảng cách x1 đến đường thẳng đứng Oy và khoảng cách y1 đến đường nằm ngang Ox. Cặp số thực theo trật tự (x1,y1) xác định điểm P trong mặt phẳng, và được gọi là tọa độ của nó.

Hình học tọa độ còn được gọi là hình học giải tích hay hình học tọa độ Descartes để tôn vinh người phát minh ra nó, Rene Descartes.

59. Phải chăng hình học tọa độ là một công cụ mạnh hơn hình học bình thường?

Sức mạnh của hình học tọa độ nằm ở thực tế nó nghiên cứu các đối tượng hình học bằng phương pháp đại số.

Khái niệm tọa độ biến những bài toán hình học thành những bài tính toán theo các đại lượng đại số.

Và các phép tính đại số thì dễ làm hơn là các chứng minh hình học liên quan rất nhiều đến trực giác và kinh nghiệm với các hình vẽ và sơ đồ!

Vì thế, hình học tọa độ xứng đáng được tôn vinh là đã “giải phóng hình học khỏi lệ thuộc vào hình vẽ”.

60. Làm thế nào giải phóng hình học khỏi lệ thuộc vào hình vẽ?

Bằng phương pháp tọa độ, các phương trình đại số đơn giản bậc nhất theo hai biến x và y có được ý nghĩa trực quan và chúng biểu diễn cho những đường thẳng sao cho việc nghiên cứu các đối tượng hình học gọi là đường thẳng được thực hiện thông qua việc nghiên cứu những phương trình như thế. Phương pháp này dễ làm hơn và đáng làm hơn!

Phương trình 2x+3y=6, hoặc tương đương là x3+y2=1, thu được bằng cách chia hai vế phương trình cho 6, được biểu diễn trực quan bởi đường thẳng AB.

Tương tự, phương trình khái quát cho đường thẳng có dạng như sau

ax+by+c=0

Các phương trình đại số bậc hai theo hai biến x và y biểu diễn các đường cong trong một mặt phẳng.

61. Đó là những đường cong nào?

Quen thuộc nhất trong những đường cong như thế là đường tròn, đường parabol, đường elip và đường hyperbol. Một biểu diễn hình học của mỗi đường cong cùng với phương trình của nó được cho bên dưới.

62. Các đường conic là gì?

Giao tuyến của một hình nón với những mặt phẳng khác nhau được gọi là các đường conic.

Nếu một mặt phẳng cắt qua một hình nón vuông góc với trục của nó thì giao tuyến là một đường tròn.

Nếu mặt phẳng cắt xiên với trục hình nón thì giao tuyến thu được là đường elip.

Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh của hình nón thì giao tuyến là đường parabol.

Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón hai lần thì ta thu được đường hyperbol.

Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón hai lần và đồng thời đi qua đỉnh nón, thì ta thu được một cặp đường thẳng xuyên đỉnh.

63. Tính phản xạ của parabol có ý nghĩa gì?

Parabol có một tính chất nổi bật là nếu đặt một nguồn sáng tại tiêu điểm S của nó, thì toàn bộ các tia sáng đi ra từ S, sau khi phản xạ tại parabol, truyền đi song song với trục của nó.

Tính chất này được gọi là tính phản xạ của parabol.

Chính vì tính chất này mà các gương lắp phía sau đèn trước xe hơi được chế tạo có hình paraboloid, tức là hình dạng được tạo ra bằng cách quay parabol xung quanh trục của nó.

Gương parabol giúp người lái xe nhìn thấy xa hơn về phía trước.

64. Tính chất âm học của parabol là gì?

Các tia sáng đi ra từ tiêu điểm bị phản xạ song song với trục của parabol.

Ngược lại, các tia sáng tới song song với trục của parabol sau khi bị phản xạ thì cùng đi qua tiêu điểm.

Vì sóng âm hành xử theo kiểu giống như vậy, nên tính chất âm thanh bị hội tụ tại tiêu điểm được gọi là tính chất âm học của parabol.

Đây là nguyên do ở trong một số phòng trưng bày nghệ thuật, những tiếng thì thầm của ai đó lại được nghe rõ khi bạn đứng ở một chỗ nhất định, còn ở những chỗ khác thì không nghe được.

Chỗ nhất định đó, S, thật ra là tiêu điểm của cấu trúc parabol.

65. Tính chất phản xạ của elip là gì?

Elip có tính chất là các tia sáng đi ra từ một trong hai tiêu điểm, ví dụ như S1, sau khi bị phản xạ tại elip thì đi qua tiêu điểm kia, S2.

Tính chất này được gọi là tính chất phản xạ của elip.

Như vậy, nếu elip được làm từ một dải kim loại sáng bóng, thì các tia sáng đi ra từ tiêu điểm này sẽ đều hội tụ đến tiêu điểm kia.

Một vật đặt tại S2 sẽ được rọi sáng nhờ nguồn sáng đặt tại S1, cho dù S1 và S2 ở khá xa nhau.

66. Tính chất âm học của elip là gì?

Sự phản xạ âm thanh từ tiêu điểm này qua tiêu điểm kia của elip được gọi là tính chất âm học của elip.

Đây là nguyên do vì sao ở một số phòng trưng bày nghệ thuật, người xem đứng tại hai chỗ nhất định có thể nghe được tiếng thì thầm của nhau, cho dù ở giữa họ có rất nhiều người.

67. Động cơ nào thúc đẩy người ta nghiên cứu những đường cong này?

Đó là một chuỗi những sự kiện và khám phá và nhu cầu cấp thiết, khá quan trọng trong số chúng là:

Kepler khám phá rằng các hành tinh chuyển động quanh Mặt trời theo quỹ đạo elip và Galileo khám phá rằng một hòn đá bị ném đi trong không khí vạch ra một quỹ đạo parabol. Tương tự, các viên đạn bay ra từ nòng súng cũng vạch ra các parabol.

Vì thế, có nhu cầu tính toán những elip này cũng như các parabol mô tả quỹ đạo của viên đạn.

68. Còn những nhu cầu nào khác nữa?

Nền thiên văn học lấy Trái đất tĩnh làm trung tâm không còn đúng nữa, và nền cơ học Hi Lạp cổ đại cũng vậy. Những lí thuyết này cần được đánh giá lại và xét lại.

Sự phát triển nhanh của ngành hàng hải làm phát sinh nhu cầu liên hệ các bản đồ hải trình trên địa cầu với bản đồ phẳng.

Những lĩnh vực khoa học tự nhiên khác cũng có những bài toán tương tự chờ được giải và tính toán chính xác.

69. Tại sao tính chất của những đường conic đã không được khai thác khi mà những người Hi Lạp xưa đã biết rõ về chúng?

Tính chất của các đường conic đã được người Hi Lạp xưa biết rõ từ trước Descartes đến 2000 năm, nhưng chúng chỉ cấu thành nên một bộ phận của hình học. Người ta chưa biết có phương pháp nào sử dụng chúng trong những lĩnh vực khác. Công cụ hệ tọa độ đã thay thế các đường cong bằng phương trình, chúng tương đối dễ xử lí hơn. Và kĩ thuật tọa độ đã mở rộng cửa cho một ngôi nhà đầy châu báu trước đó chưa ai dám mơ tới!

70. Kĩ thuật đại số có là đủ để làm việc với các đường cong hay không?

Không, người ta sớm nhận ra rằng những kĩ thuật này không thể xử lí độ dốc và độ cong, chúng là những tính chất cơ bản của đường cong.

71. Độ dốc và độ cong được định nghĩa như thế nào?

Độ dốc là tốc độ mà một đường cong tăng hoặc giảm tính trên đơn vị hoành độ.

Độ cong là tốc độ mà chiều của đường cong biến thiên trên đơn vị chiều dài của đường cong.

Độ dốc của một đường thẳng là không đổi trên toàn chiều dài của nó, và độ cong của nó bằng không.

Độ cong của một đường tròn giữ nguyên không đổi trên toàn chiều dài của nó.

Độ dốc và độ cong biến thiên từ điểm này sang điểm khác đối với những đường cong khác.

72. Độ dốc và độ cong được tính như thế nào?

Giải tích cung cấp phương pháp tính những đại lượng này cho các đường cong khác nhau.

(còn tiếp)