Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 9)

11. Đại số trừu tượng là gì? Có phải nó là một sự khái quát hóa hơn nữa?

Trong đại số trừu tượng, ngay cả những thực thể này cũng mất hết ý nghĩa của chúng về phương diện độ lớn và người ta nói tới những “phần tử” khái quát hơn trên đó những toán tử tương tự các toán tử đại số có thể được thực hiện.

Một ví dụ của những phần tử như thế là hai chuyển động tác dụng liên tiếp nhau hợp lại sẽ tương đương với một chuyển động.

Để minh họa, kí hiệu chuyển động quay của một hình vuông quanh tâm của nó $90^{o}$ là $R_{1}$, $180^{o}$ là $R_{2}$ và $270^{o}$ là $R_{3}$, thì chuyển động quay $R_{1}$ rồi đến $R_{2}$ sẽ tương đương với một chuyển động $R_{3}$.

Một ví dụ nữa là hai phép biến đổi đại số sẽ tạo ra cùng một kết quả với một phép biến đổi đại số.

Để minh họa, kí hiệu phép tịnh tiến là $T_{1}$ và $T_{2}$ là phép quay, thì biến đổi $T_{1}$ rồi đến $T_{2}$ sẽ tương đương với một phép tịnh tiến $T_{3}$.

Do đó, nếu với một tập hợp nhất định của các “vật”, kí hiệu bằng những chữ cái, những toán tử nhất định có thể được định nghĩa theo những quy tắc nhất định, thì người ta nói một hệ thống đại số đã được định nghĩa. Vì thế, đại số học được nhận dạng là việc nghiên cứu những hệ thống đại số đa dạng, và khi đó nó được gọi là đại số trừu tượng hay đại số tiên đề.

12. Vì sao nó được gọi là đại số trừu tượng hay đại số tiên đề?

Nó là trừu tượng bởi vì chúng ta không quan tâm các chữ cái trong hệ thống đại số đó kí hiệu cho cái gì. Cái quan trọng là các tiên đề hay các quy tắc phải được thỏa mãn bởi các toán tử. Và nó có tính tiên đề bởi vì nó được xây dựng đơn thuần từ các quy tắc hay các tiên đề được phát biểu lúc ban đầu.

Hai hệ thống đại số như thế được gọi là nhóm và vành.

Tên gọi thoạt nghe có chút lạ lẫm, nhưng hiểu qua chút ít sẽ làm dịu đi phản ứng ban đầu đó. Chúng ta sẽ trở lại với chúng ở phần sau.

13. Những lĩnh vực nghiên cứu nào sử dụng đại số tiên đề?

Topo học, giải tích hàm, cơ học lượng tử và vật lí đương đại là một vài cái tên thuộc một vài lĩnh vực quan trọng, trong đó đại số tiên đề tỏ ra là công cụ khảo sát có sức mạnh nhất.

14. Số học là lí thuyết của những con số! Lí thuyết của những con số nghiên cứu cái gì?

Lí thuyết sơ cấp của những con số nghiên cứu cái sau đây:

Các hợp số và các quy tắc chia hết, số nguyên tố và sự xuất hiện của chúng, định lí cơ bản của số học, định lí Fermat, định lí Wilson, định lí cuối cùng của Fermat.

Các số Pythagoras,

Tính chất của những con số lớn,

Những con số được nói tới ở đây là số tự nhiên hoặc số nguyên dương.

15. Hợp số và số nguyên tố là gì?

Một số con số có thể được phân tích thành những thừa số nhỏ hơn, ví dụ $15 = 3 \times 5$, nhưng $11$ hoặc $17$ thì không phân tích được.

Các số có thể phân tích được thành những thừa số nhỏ hơn được gọi là hợp số, còn những số không thể phân tích được như thế được gọi là số nguyên tố.

16. Còn số $1$ thì sao? Nó có phải là số nguyên tố không?

Một số nguyên tố là số có ước số là $1$ và chính nó.

Ví dụ, số nguyên tố $7$ có hai ước số $1$ và $7$, mặc dù người ta gọi chúng là những ước số tầm thường.

Vì thế, nếu $1$ là số nguyên tố thì nó sẽ có đúng hai ước số. Nếu $1$ là hợp số, thì nó sẽ có nhiều hơn hai ước số. Nhưng số $1$ có đúng một ước số thôi, cho nên nó không phải là số nguyên tố, cũng chẳng phải là hợp số.

17. Các quy tắc chia hết là gì?

Sau đây là các quy tắc chia hết. Người ta học chúng ở nhà trường.

1. Một số là chia hết cho $2$, nếu chữ số hàng đơn vị của nó chia hết cho $2$. Như vậy, những số kết thúc với $0, 2, 4, 6$ hoặc $8$ là chia hết cho $2$, như trong $530$ và $138$.
2. Một số là chia hết cho $4$, nếu hai chữ số tận cùng bên phải là $00$ hoặc chia hết cho $4$, như trong $300$ và $528$.
3. Một số là chia hết cho $8$, nếu ba chữ số tận cùng bên phải là $000$ hoặc chia hết cho $8$, như trong $3000$ và $3240$.
4. Một số là chia hết cho $5$, nếu chữ số tận cùng bên phải là $0$ hoặc $5$, như trong $240$ và $235$.
5. Một số là chia hết cho $25$, nếu hai chữ số tận cùng bên phải là $00$ hoặc chia hết cho $25$, như trong $300$ và $425$.
6. Một số là chia hết cho $3$, nếu tổng các chữ số trong số đó chia hết cho $3$, như trong $231$.

Ở đây $2 + 3 + 1 = 6$, tổng chia hết cho $3$, vì thế $231$ chia hết cho $3$.

Ta dễ dàng thấy được nguyên nhân như sau:

$$231= 2 \times 100 + 3 \times 10 + 1$$

$$= 2 \times (99 + 1) + 3 \times (9 + 1) + 1$$

$$= 2 \times 99 + 2 \times 1 + 3 \times 9 + 3 \times 1 + 1$$

$$= 2 \times 99 + 2 + 3 \times 9 + 3 + 1$$

$$= (2 \times 99 + 3 \times 9) + (2 + 3 + 1)$$

$=$ (một bội của $9$) + (tổng các chữ số).

Do đó, một con số là chia hết cho $3$, nếu tổng các chữ số của nó là chia hết cho $3.$

7. Một số là chia hết cho $9$, nếu tổng các chữ số trong số đó chia hết cho $9$, như trong $477$.

Ở đây, $4 + 7 + 7 = 18$, tổng chia hết cho $9$, nên $477$ chia hết cho $9$.

Lí do trong trường hợp này cũng tương tự như với trường hợp chia hết cho $3$

8. Một số là chia hết cho $11$ nếu hiệu giữa tổng của các chữ số thứ tự lẻ và tổng các chữ số thứ tự chẵn bằng $0$ hoặc bằng bội của $11$.

Xét con số $1 8 3 9 5 5 2.$

Tổng các chữ số thứ tự lẻ là $1 + 3 + 5 + 2 = 11$,

Tổng các chữ số thứ tự chẵn là $8 + 9 + 5 = 22$,

Hiệu bằng $22 – 11 = 11$, chia hết cho $11$,

nên $1 8 3 9 5 5 2$ chia hết cho $11$.

18. Còn những quy tắc nào khác nữa không?

Vâng, có những quy tắc hấp dẫn như sau:

1. Tích của hai số bằng tích của ước chung lớn nhất của chúng và bội chung nhỏ nhất của chúng.
   Như vậy, nếu hai số là $12$ và $18$, thì ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của chúng tương ứng là $6$ và $36$, và $12 \times 18 = 6 \times 36 = 216.$
2. Tích của hai số nguyên liên tiếp là chia hết cho $2$, tức là $n(n + 1)$ là chia hết cho $2$, trong đó $n$ là số nguyên bất kì.
3. Tích của ba số nguyên liên tiếp, tức là $n(n + 1)(n + 2)$, là chia hết cho $2 \times 3$, tức là $6$.
4. Tích của bốn số nguyên liên tiếp, tức là $n(n + 1)(n + 2)(n + 3)$ là chia hết cho $2 \times 3 \times 4$, tức là $24$.
5. Tích của $r$ số nguyên liên tiếp là chia hết cho $2 \times 3 \times 4 \times ... \times r$, hay $r!$ .
   Tích $1.2.3...r$ được gọi là $r$ giai thừa, và được kí hiệu là $r!$
6. Với mọi số lẻ $n$, số $n^{2} – 1$ là chia hết cho $8.$
   Nếu $n$ là một số lẻ, thì $n – 1$ phải chẵn và chia hết cho $2$. Đồng thời, $n + 1$ là số chẵn liền sau và, do đó, chia hết cho $4$. Vì thế, tích này chia hết cho $8$.

19. Có bao nhiêu số nguyên tố?

Có vô hạn số nguyên tố.

Các số nguyên tố nhỏ hơn $100$, xếp theo thứ tự là:

$$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 và 97.$$

Một vài số nguyên tố lớn hơn $100$ là:

$$101, 103, 107, 109,..., 211,..., 307,..., 401,..., 503,..., 601,..., 701,...,809,..., 907,..., 65537,...,510511,...$$

20. Có nguyên tố lớn nhất không?

Câu hỏi liệu dãy số trên có điểm dừng hay không, hoặc các số nguyên tố có vô hạn về số lượng hay không, đã không được trả lời trong một thời gian khá lâu, cho đến khi Euclid chứng minh rằng chúng phải vô hạn về số lượng, và không có số nguyên tố lớn nhất.

21. Euclid đã chứng minh các số nguyên tố là vô hạn về số lượng như thế nào?

Lập luận chứng minh như sau:

Nếu chỉ có một số lượng hữu hạn số nguyên tố, thì phải có một số nguyên tố lớn nhất, ví dụ là $P$, khi đó thì số

$$(2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times ... \times P) +1$$

sẽ cho số dư là $1$ khi chia mỗi số $2, 3, 5, 7, 11,..., P.$

Do đó, con số trên không thể chia hết cho bất kì số nguyên tố nào trong những số này. Như vậy, nó phải là một số nguyên tố hoặc có thể được chia hết bởi một số nguyên tố lớn hơn $P$. Dù là trường hợp nào thì $P$ chẳng phải là số nguyên tố lớn nhất. Vì thế, có số lượng vô hạn các số nguyên tố.

22. Phương pháp nào dùng để tính ra số nguyên tố?

Phương pháp tính số nguyên tố đến số $N$ bất kì khá đơn giản. Trước tiên, chúng ta viết tất cả các số từ $1$ đến $N$,

$$1, 2, 3, 4,..., N$$

sau đó xóa đi, trước tiên là số $1$, rồi đến tất cả những số bội của $2$ ngoại trừ $2$, rồi đến tất cả những số là bội của $3$ ngoại trừ $3$, rồi đến tất cả những số là bội của $5$ ngoại trừ $5$, rồi đến tất cả những số là bội của $7$ ngoại trừ $7$, và cứ thế. Các bội số của $4, 6,...$ đã bị xóa trước đó. Những số còn lại khi ấy sẽ là số nguyên tố.

23. Các số nguyên tố phân bố như thế nào?

Mặc dù vô hạn về số lượng, nhưng con số càng lớn thì chúng ta càng hiếm gặp số nguyên tố hơn. Nhưng sự phân bố của chúng là cực kì không đều, bởi vì trong khi hai số nguyên tố liên tiếp có thể chỉ sai khác nhau 2, nhưng hai số nguyên tố liên tiếp cũng có thể sai khác nhau đến một triệu.

Ví dụ, xét các số $10! + 2, 10! + 3, 10! + 4,..., 10! + 10$ lần lượt chia hết cho $2, 3, 4,..., 10.$ Theo cách này, chúng ta có thể tạo ra nhiều hợp số liên tiếp như chúng ta muốn, cho dù một triệu hoặc nhiều hơn, trong đó không có số nào là số nguyên tố. Mặt khác, các số nguyên tố $1.000.000.009.649$ và $1.000.000.009.651$ chỉ sai khác nhau $2$.

24. Có bao nhiêu số nguyên tố nằm giữa một con số bất kì và số gấp đôi của nó?

Giữa một con số bất kì lớn hơn $1$ và số gấp đôi của nó luôn luôn có ít nhất một số nguyên tố.

Joseph Bertrand đã ước chừng kết quả này và đã xác nhận nó theo kiểu kinh nghiệm bằng những bảng kê đến những con số rất lớn, nhưng nó thật sự được chứng minh là bởi Chebychev.

25. Có bao nhiêu số nguyên tố nhỏ hơn một con số cho trước?

Một ước đoán số lượng số nguyên tố nhỏ hơn một con số cho trước cũng đã được nêu ra.

Các số nguyên tố nhỏ hơn $20$ là $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$, tức là có $8$ số, nên ta nói $\pi(20) = 8.$

Tương tự:

$$\pi(100) = 25, \pi(200) = 46,\pi(300) = 62, \pi(400) = 78, \pi(500) = 95, \pi(600) = 109, \pi(700) = 125, \pi(800) = 139,\pi(900) = 154,\pi(1000) = 168.$$

Danh sách có thể tiếp tục đến vô hạn, nhưng không thể tìm được một công thức đơn giản cho $\pi (x)$, trong đó $\pi (x)$ là kí hiệu cho số lượng số nguyên tố nhỏ hơn $x$.

26. Định lí số nguyên tố là gì?

Định lí số nguyên tố phát biểu rằng đối với giá trị $x$ lớn, số lượng số nguyên tố nhỏ hơn $x$ xấp xỉ bằng $\frac{x}{\log x}$, trong đó phép tính logarithm là logarithm tự nhiên.

Định lí được phỏng đoán bởi Gauss vào năm 1793, nhưng được chứng minh bởi Hadamard và de la Valle’e Poussin vào một thế kỉ sau đó, năm 1896.

27. Có công thức nào cho ra tất cả các số nguyên tố hay không?

Không. Người ta đã tốn nhiều công sức để tìm một công thức sẽ cho ra mọi số nguyên tố, nhưng chẳng có ai thành công.

Có thể nhắc lại một số trường hợp.

Biểu thức $n^{2} + n + 17$ là số nguyên tố với mọi giá trị của $n$ từ $1$ đến $16$,

$2n^{2} + 29$ là số nguyên tố với các giá trị của $n$ từ $1$ đến $28$,

$n^{2} – n + 41$ là số nguyên tố với các giá trị của $n$ từ $1$ đến $40$,

và $n^{2} – 79n + 1601$ hay $(n – 40)^{2} + (n – 40) + 41$ là số nguyên tố với các giá trị của $n$ từ $1$ đến $79.$

Dirichlet đã chứng minh rằng mỗi chuỗi số

$$an + b, n = 0, 1, 2,3,...$$

trong đó $a, b$ là hai số nguyên dương không có ước số chung lớn hơn $1$, có chứa một số lượng vô hạn số nguyên tố.

Ví dụ, có vô hạn số nguyên tố có dạng $6n + 1$, mặc dù, tất nhiên, không phải số nào như thế cũng là số nguyên tố. Với $n = 4, 6n + 1 = 25$, không phải là số nguyên tố.

Tuy nhiên, người ta đã chứng minh được rằng không có công thức đại số dạng hữu tỉ nào có thể chỉ biểu diễn số nguyên tố.

28. Có phải mọi số nguyên tố đều giống nhau?

Có hai dạng số nguyên tố.

Tất cả số nguyên tố ngoại trừ $2$ đều có dạng hoặc $4n – 1$ hoặc $4n + 1.$

Trong số này, mỗi số nguyên tố có dạng $4n + 1$ có thể được biểu diễn là tổng của hai bình phương duy nhất. Ví dụ, $5 = 1^{2} + 2^{2}, 13 = 2^{2} + 3^{2}, 17 = 1^{2} + 4^{2}, 29 = 2^{2} + 5^{2}, 953 = 13^{2} + 28^{2}.$

Tuy nhiên, nếu một số có dạng $4n + 1$ có thể được biểu diễn là tổng của hai bình phương theo hai cách khác nhau, thì nó không thể là số nguyên tố. Ví dụ, $545 = 17^{2} + 16^{2} = 23^{2} + 4^{2}$, và $545$ không phải là số nguyên tố.

Không có số nguyên nào dạng $4n – 1$ có thể bằng tổng của hai bình phương, ví dụ $11$ hay $23$ không thể nào được biểu diễn như thế.

29. Những câu hỏi nào về số nguyên tố cho đến nay chưa được giải đáp?

Hai câu hỏi trông đơn giản liên quan đến số nguyên tố nhưng chưa được giải đáp là như sau:

Một là có hay không một vô hạn số nguyên tố thuộc dạng $n^{2} + 1$, trong đó $n$ là số nguyên.

Nếu chúng ta cho $n$ nhận liên tiếp các giá trị $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...$ thì $(n^{2} + 1)$ nhận các giá trị $2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101,...$ Trong số này có một số là số nguyên tố còn số khác thì không. Câu hỏi đặt ra là đến lúc nào thì quá trình này dừng cho ra số nguyên tố.

Hai là phỏng đoán của Goldbach khẳng định rằng mỗi số chẵn lớn hơn $2$ bằng tổng của hai số nguyên tố, ví dụ $40 = 11 + 29$. Giả thiết đã được xác nhận bởi những bảng kê số nhưng chưa từng được chứng minh.

30. Định lí cơ bản của số học! Nó là gì?

Một tính chất mà mỗi số nguyên lớn hơn $1$ đều có là hoặc nó là số nguyên tố, hoặc nó có thể được phân tích thành tích của các thừa số nguyên tố theo cách duy nhất.

Kết quả cho mỗi số nguyên được phân tích thành tích của các thừa số duy nhất như thế này được gọi là định lí cơ bản của số học.

Ví dụ, $30$ có thể được phân tích thành $2 \times 3 \times 5$ và không có cách nào khác, một trật tự sắp xếp khác của các thừa số, ví dụ $3 \times 2 \times 5$, không được xem là một phân tích thừa số khác.

Định lí này còn được gọi là định lí phân tích thành thừa số duy nhất.

(còn tiếp)