Cuộc đời và những con số của Fibonaci

Bạn đã bao giờ tự hỏi ở đâu chúng ta có hệ thập phân chưa? Đế chế La Mã đã để lại cho Châu Âu hệ thống số La Mã, cái chúng ta thường thấy, nó có ở khắp nơi, ở trong các thông báo bản quyền sau những chương trình ti vi (1997 là MCMXCVII). Số La mã đã không bị thay thế cho đến thế kỷ 13 sau công nguyên khi mà Fibonacci xuất bản Liber abaci với ý nghĩa là "Cuốn sách của tính toán".

Fibonacci, hay đúng hơn là Leonardo da Pisa, sinh ra ở Pisa vào năm 1175 sau công nguyên. Ông là con trai của một thương gia Pisan và cũng là một viên chức hải quan ở Bắc Phi. Ông đi khắp nơi ở Barbary (Algeria) và được cử đi trong các chuyến công tác đến Ai Cập, Syria, Hy Lạp, Sicily và Provence.

Vào năm 1200 ông trở về Pisa và sử dụng kiến thức mà mình học được trong các chuyến đi để viết Liber abaci trong đó ông đã giới thiệu với cộng đồng nói tiếng La-tinh về hệ thập phân. Chương 1 của tập 1 bắt đầu như thế này:

Đây là chín con số của người Ấn Độ: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Với chín con số này, và với ký hiệu 0 - cái mà trong Arabic được gọi là zephirum[1], thì bất kỳ số nào cũng có thể được viết ra và cũng sẽ chứng minh được.

Tìm nghiệm

Bằng tài năng đặc biệt của mình Fibonacci đã tìm ra các phép tính hoàn hảo. Ông có thể tìm nghiệm dương của phương trình bậc 3 sau: $$x^{3}+2x^{2}+10x=20.$$

Điều đáng chú ý hơn là ông đã thực hiện tất cả các công việc của mình bằng cách sử dụng hệ thống toán học của người Babylon với cơ số 60. Ông đã đưa ra kết quả là 1,22,7,42,33,4,40 nghiệm đó bằng: $$1+\frac{22}{60}+\frac{7}{60^{2}}+\frac{42}{60^{3}}+\frac{33}{60^{4}}+\frac{4}{60^{5}}+\frac{40}{60^{6}}.$$

Không biết bằng cách nào mà ông đã tìm ra kết quả này, nhưng nó đã có 300 năm trước khi một số người khác có thể tìm ra kết quả chính xác như vậy. Một điều thú vị là khi Fibonacci đưa ra kết quả bằng cách trên thì nó đồng thời cũng thuyết phục những người khác sử dụng hệ thập phân!

Dãy số Fibonacci

Fibonacci có lẻ được biết đến nhiều nhất với một dãy số đơn giản, được giới thiệu trong Liber abaci và sau đó lấy tên là số Fibonacci để tôn vinh ông.

Dãy này bắt đầu với 0 và 1. Sau đó, dùng một quy tắc đơn giản:

Cộng hai số cuối để được số tiếp theo.

$$1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,...$$

Bạn thắc mắc rằng nó đến từ đâu? Ở thời của Fibonacci thì các cuộc thi đấu và những thách thức toán học là phổ biến. Ví dụ như, Vào năm 1225, Fibonacci tham gia một cuộc thi đấu ở Pisa theo lệnh của vua Frederick II.

Đây là một cuộc thi công bằng với bài toán đặt ra như sau: Bắt đầu với một cặp thỏ duy nhất, nếu mỗi tháng mỗi cặp sản xuất (sinh sản) ra một cặp thỏ mới, cặp thỏ mới này bắt đầu sản xuất khi chúng được 1 tháng tuổi, thì sẽ có bao nhiêu thỏ sau n tháng?

Tỷ lệ vàng

Một giá trị đặc biệt, liên hệ chặt chẻ với dãy Fibonacci, được gọi là tỷ lệ vàng.

Giá trị này thu được bằng cách lấy tỷ số giữa các số hạng liên tiếp của dãy Fibonacci:

Nếu bạn vẽ một đồ thị của các giá trị này bạn sẽ thấy rằng chúng dường như tiến đến một giới hạn. Giới hạn này là nghiệm thực dương của một phương trình bậc hai (nhìn vào khung) và được gọi là tỷ lệ vàng (golden section), tỷ số vàng (golden ratio), hay đôi khi là giá trị trung hòa (golden mean).

Tỷ lệ vàng thường được ký hiệu bằng một chữ cái Hy Lạp là phi. Thật ra, các nhà toán học Hy Lạp thời Plato (năm 400 trước công nguyên) đã nhận ra nó là một giá trị có ý nghĩa dặc biệt và các kiến trúc sư Hy Lạp sử dụng tỷ số 1:phi là một phần không thể thiếu trong toàn bộ các thiết kế của mình, nổi tiếng nhất trong số đó là Đền Parthenon ở Athens.

Phi và hình học

Thật đáng ngạc nhiên khi Phi cũng xuất hiện trong hình học. Ví dụ như, Phi là tỷ số giữa cạnh của một ngủ giác đều với đường chéo của ngủ giác đều đó. Nếu chúng ta vẽ vào đó tất cả các đường chéo thì mỗi đường chéo cắt đường chéo khác cũng theo một tỷ lệ vàng (xem hình). Hình ngôi sao năm cánh thu được diển tả một ngôi sao, cái làm nên một phần của các quốc kỳ trên thế giới.

Fibonacci trong tự nhiên

Bài toán sự sinh sản của thỏ trên đây được cho là động cơ cho Fibonacci viết về dãy số trong Liber abaci có thể là không thật nhưng các số Fibonacci thật sự xuất hiện trong tụ nhiên. Ví dụ, một vài loài thực vật phát triển theo cách mà luôn luôn có một số Fibonacci ở những thời điểm phát triển của chúng. Các loài hoa thường có một số Fibonacci để chỉ số cánh hoa, loài cúc thì có thể có 34, 55 hay thậm chí là 89 cánh hoa!

Cuối cùng, sau một thời gian nhìn vào một đóa hướng dương, cố gắng nhìn vào sự sắp xếp của những cái hạt. Chúng có vẻ như chuyển động theo chiều xoắn ốc ra bên ngoài theo cả hai hướng bên trái và bên phải. Đây là số Fibonacci của những dường xoắn ốc! Dường như sự sắp xếp này giúp cho các hạt thống nhất với nhau, không ảnh hưởng đến vị trí của hạt trung tâm.

Fibonacci trong toán

Các số Fibonacci được nghiên cứu như là một phần của lý thuyết số và có ứng dụng trong việc đếm các đối tượng toán học như là các tập hợp, các hoán vị, các dãy và đến khoa học máy tính.

Đọc thêm

Nếu bạn thích bài báo này bạn có thể ghé xem thêm trong "Fibonacci Numbers and the Golden Section".

Lời cảm ơn

Bài biết này dựa trên cơ sở là tư liệu của Tiến sĩ R. Knott, giảng viên Khoa Nghiên cứu máy tính tai Đại học Surrey và cộng thêm tư liệu của Tiến sĩ D. A. Quinney, giảng viên Khoa Toán, Đại học Keele.

___________________________________________________________

Câu trả lời cho bài toán con thỏ

Giả sử rằng có $x_n$ cặp thỏ sau n tháng. Số cặp thỏ trong tháng $n+1$ sẽ là $x_{n+1}$ (trong bài toán, các con thỏ không chết) cộng với số cặp thỏ mới sinh. Nhưng cặp mới chỉ sinh ra cặp khác sau tối thiểu một tháng, nên sẽ có $x_{n-1}$ cặp mới.

$$x_{n+1} = x_n + x_{n-1}$$

Đó là quy tắc đơn giản tạo nên các số Fibonacci.

....................................................................................
Ghi chú:

[1]: Tiếng La-tinh có nghĩa là “cái trống rỗng” (emptyness), sau đó thành Zephiro, và cuối cùng thành Zero như ngày nay.

Theo Diễn đàn toán hoc