Những đóng góp của Cauchy cho toán học

Augustin Louis Cauchy (đôi khi tên họ được viết Cô-si) là một nhà toán học người Pháp sinh ngày 21 tháng 8 năm 1789 tại Paris và mất ngày 23 tháng 5 năm 1857 cũng tại Paris. Ông vào học Trường Bách khoa Paris (École Polytechnique) lúc 16 tuổi. Năm 1813, ông từ bỏ nghề kỹ sư để chuyên lo về toán học. Ông dạy toán ở Trường Bách khoa và thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp.

Công trình lớn nhất của ông là lý thuyết hàm số với ẩn số tạp. Ông cũng đóng góp rất nhiều trong lãnh vực toán tích phân và toán vi phân. Ông đã đặt ra những tiêu chuẩn Cauchy để nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy trong toán học.

Tên của Cauchy được đặt cho 1 miệng núi lửa trên Mặt trăng.

CÁC ĐÓNG GÓP CỦA CAUCHY VỀ LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1) Điều kiện biên Cauchy trong lý thuyết phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đạo hàm riêng.

2) Phương trình Cauchy-Euler là một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất thông thường với hệ số biến. Cho $y^n(x)$ là đạo hàm cấp $n$ với biến số $x$ của hàm số $y(x)$. Khi đó phương trình Cauchy–Euler bậc $n$ có dạng $$x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0.$$

Dạng bậc hai: $$x^2\dfrac{d^2y}{dx^2} + ax\dfrac{dy}{dx} + by = 0.$$

3) Định lý Cauchy–Kowalevski trong lý thuyết phương trình vi phân từng phần

4) Định lý Cauchy-Peano trong lý thuyết phương trình vi phân.

5) Bài toán Cauchy trong lý thuyết phương trình vi phân

CÁC ĐÓNG GÓP CỦA CAUCHY VỀ LÝ THUYẾT CHUỖI

6) Dấu hiệu hội tụ Cauchy Cho dãy dương, không tăng $f(n)$, tổng $$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$$ hội tụ khi và chỉ khi tổng $$\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n})$$ hội tụ.

Hơn nữa, ta còn có $$\sum_{n=1}^{\infty}f(n) \leq \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}) \leq 2 \sum_{n=1}^{\infty}f(n). $$

7) Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy cho chuỗi số:
Chuỗi số thực hoặc phức $\sum_{i=0}^\infty a_i$ hội tụ khi và chỉ khi với mọi số $\varepsilon>0$ tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho $$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|<\varepsilon$$

(với mọi $n > N$ và $p \geq 1$).

* Một chuỗi $s_n:=\sum_{i=0}^n a_i$ được gọi là chuỗi Cauchy nếu với bất kỳ $\varepsilon>0$ tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho với mọi $n, m > N$ ta có $$|s_m-s_n|<\varepsilon.$$

Một chuỗi số hội tụ khi và chỉ khi nó là chuỗi Cauchy.

8)Tiêu chuẩn hội tụ Maclaurin-Cauchy. Cho số nguyên dương $N$ và hàm số $f$ không âm, đơn điệu giảm trên khoảng$[N, \infty)$. Khi đó chuỗi $$\sum_{n=N}^\infty f(n)$$ hội tụ khi và chỉ khi $$\int_N^\infty f(x)\,dx$$ là hữu hạn.

Đặc biệt, nếu tích phân phân kì thì chuỗi cũng phân kì.

ĐÓNG GÓP CỦA CAUCHY VỀ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

9) Đẳng thức Binet–Cauchy.

$$\biggl(\sum_{i=1}^n a_i c_i\biggr)\biggl(\sum_{j=1}^n b_j d_j\biggr) = \biggl(\sum_{i=1}^n a_i d_i\biggr)\biggl(\sum_{j=1}^n b_j c_j\biggr) + \sum_{1\le i < j \le n} (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i )$$

Đẳng thức trên đúng với mọi số thực hoặc phức (hay rộng hơn là các phần tử của một vành giao hoán]).

Cho $$a_i = c_i ,b_i = d_i $ , ta có đẳng thức Lagrange, đó là một dạng mạnh hơn của BĐT Cauchy–Schwarz trong không gian Euclid $\mathbb{R}^n$.

Khi $n = 3$, Biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ 2 của vế phải trở thành bình phương độ lớn của tích vô hướng và tích có hướng của hai vector. Ta có thể viết $$(a \cdot c)(b \cdot d) = (a \cdot d)(b \cdot c) + (a \wedge b) \cdot (c \wedge d)\,$$ trong đó $a, b, c, d$ là các vector.

Công thức còn được viết dưới dạng $$(a \wedge b) \cdot (c \wedge d) = (a \cdot c)(b \cdot d) - (a \cdot d)(b \cdot c).\,$$

Đặc biệt, nếu $a = c$ và $b = d$, thì $$|a \wedge b|^2 = |a|^2|b|^2 - |a \cdot b|^2. \,$$

Khi cả hai vecto là vectơ đơn vị thì ta có hệ thức quen thuộc $$1= \cos^2(\phi)+\sin^2(\phi)$$ trong đó $\phi$ là góc giữa hai vectơ.

10) Công thức Cauchy-Binet. Tổng quát hóa của đẳng thức Binet-Cauchy: $$\det(AB) = \sum_{\scriptstyle S\subset\{1,\ldots,n\}\atop\scriptstyle|S|=m} \det(A_S)\det(B_S),$$

11) Định thức Cauchy (định thức của ma trận Cauchy)
Các số $a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n$ là các số thực cho trước sao cho $a_i+b_j\not=0\forall i,j$. Định thức Cauchy ( Cô-si ) được định nghĩa như sau:

$$D=\begin{vmatrix}\dfrac{1}{a_1+b_1} & \dfrac{1}{a_1+b_2} & \ldots & \dfrac{1}{a_1+b_n}\\\dfrac{1}{a_2+b_1} & \dfrac{1}{a_2+b_2} & \ldots & \dfrac{1}{a_2+b_n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\dfrac{1}{a_n+b_1} & \dfrac{1}{a_n+b_2} & \ldots & \dfrac{1}{a_n+b_n}\\\end{vmatrix}$$

Ta tính được: $$D=\dfrac{\prod_{i\not=j}(a_j-a_i)\prod_{i\not=j}(b_j-b_i)}{\prod_{i,j}(a_i+b_j)}.$$

12) Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, còn được gọi là bất đẳng thức Schwarz, bất đẳng thức Cauchy, hoặc bằng cái tên khá dài là bất đẳng thức Cauchy–Bunyakovski–Schwarz, à một bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai. Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Bunyakovski hoặc bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovski–Cauchy-Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCS . Cũng cần tránh nhầm lẫn với bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân mà tài liệu giáo khoa tại Việt Nam gọi là bất đẳng thức Cauchy.

Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu $x$ và $y$ là các phần tử của không gian tích trong số thực hay số phức thì $$|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.$$

Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi $x$ và $y$ phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của $x$ và $y$ là khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc ) nhau thì tích trong của chúng bằng 0.

Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm "góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian Euclide.

Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích trong là một hàm liên tục .

Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu không gian vector chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích trong $$ |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.\, $$

Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều và đến năm 1859, học trò của Cauchy là V.Ya. Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh bởi K.H.A. Schwarz vào năm 1885.

Hệ quả
* Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có $$\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx.$$

Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder.

Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy Schwarz $$ \dfrac {(a_1 + a_2 + ...+a_{n-1}+ a_n)^2}{b_1 + b_2 + ..+ b_{n-1} + b_n} \leq \dfrac {a_1^2}{b_1} + \dfrac {a_2^2}{b_2} +...+ \dfrac {a_{n-1}^2}{b_{n-1}} + \dfrac {a_n^2}{b_n}.$$

13) bất đẳng thức Cauchy, nước ngoài gọi là bất đẳng thức AM-GM. Bất đẳng thức này so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của $n$ số thực không âm được phát biểu như sau:
Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

*Với 2 số:

$$\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b$

*Với $n$ số:

$$\dfrac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1.x_2. ... .x_n}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ x_1 = x_2 = ... = x_n\,$

CÁC ĐÓNG GÓP KHÁC CỦA CAUCHY

14) Định lý Cauchy – Hadamard trong giải tích phức
Xét chuỗi lũy thừa biến số phức

$$f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z-a)^{n}$$

Trong đó $a,c_n\in\mathbb{C}.$
Khi đó bán kính hội tụ của f tại a là

$$\dfrac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \big( | c_{n} |^{1/n} \big)$$

P/S: Thật ra định lý này cũng thuộc đóng góp về lý thuyết chuỗi

15) Phương trình vi phân Cauchy–Riemann trong giải tích phức, còn gọi là định lý Cauchy–Riemann.

16) Định lý Cauchy trong lý thuyết nhóm

17) Định lý Cauchy trong hình học
.
18) Phân phối Cauchy – Lorenz trong xác suất thống kê

19) phương trình hàm Cauchy Là phương trình có dạng:

$$f(x + y) = f(x) + f(y)$$

20) Giá trị chính Cauchy của tích phân
*

$$\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \left[\int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{b+\varepsilon}^c f(x)\,dx\right]$$

Trong đó $b$ là điểm thỏa mãn

$$\int_a^b f(x)\,dx=\pm\infty$$

(với bất kỳ $a < b$) và

$$\int_b^c f(x)\,dx=\mp\infty$$

(với bất kỳ $c > b$)

**:

$$\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a f(x)\,dx$$

Trong đó

$$\int_{-\infty}^0 f(x)\,dx=\pm\infty$$

và

$$\int_0^\infty f(x)\,dx=\mp\infty$$

21) Tích Cauchy của hai dãy số $\textstyle (a_n)_{n\geq0}$, $\textstyle (b_n)_{n\geq0}$, là dãy số $\textstyle (c_n)_{n\geq0}$ cho bởi công thức

$$c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.$$

Theo wikipedia