Toán học – Những điều kỳ thú và những mốc son lịch sử (Phần 2)

21. Hình học Lobachewsky là gì?

Định đề vừa nói ở trên có vẻ quá hiển nhiên nên người ta chưa từng nghĩ nó có thể hoặc có lẽ nên thay đổi. Nhưng một vài nhà toán học, Lobachewsky là một trong số đó, đã nghĩ tới cái xảy ra khi định đề trên được thay thế bởi định đề sau đây:

Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, có thể vẽ hai đường thẳng khác nhau cùng song song với đường thẳng đã cho.

Chúng ta có thể vẽ một hình như sau, trong đó hai đường thẳng tách biệt được vẽ qua điểm P, một hướng sang trái và một hướng sang phải.

Các nhà toán học tìm thấy rằng giả thiết lạ lẫm này không những không mang lại sai lầm gì mà một hệ quả logic của giả thiết mới còn đưa họ đến với một bộ môn hình học mới trong đó tổng số đo ba góc của một tam giác nhỏ hơn 180 độ.

22. Nó chẳng phải là một giả thiết lạ hay sao?

Nói cho hợp lí thì chẳng có gì sai khi giả sử người ta có quyền tự do lựa chọn những giả thiết căn bản bất kì miễn là chúng không mâu thuẫn nhau.

23. Nhưng hai đường thẳng trong hình vẽ ở trên trông không có vẻ gì song song với đường thẳng đã cho!

Nguyên nhân hai đường thẳng trong hình vẽ ở trên, một hướng sang phải và một hướng sang trái, không có vẻ song song với đường thẳng đã cho là vì hình được vẽ trong một mặt phẳng bình thường, nơi chỉ có hình học Euclid đúng còn hình học mới thì không!

24. Còn có ai khác đi tới quan điểm mới trên?

Ba nhà toán học khác nhau, Gauss người Đức, Bolyai người Hungary và Lobachewsky người Nga đã khám phá ra bộ môn hình học phù hợp logic này khá độc lập nhau, và gần như đồng thời, khoảng năm 1826.

25. Vậy tại sao lại gọi là hình học Lobachewsky?

Gauss, nhà toán học nổi tiếng nhất thời ấy, không dám mạo hiểm với những quan niệm mới này vì sợ ảnh hưởng đến danh tiếng của ông.

Bolyai thì dũng cảm xông pha, nhưng ông đã không phát triển những khái niệm mới sâu sắc và trọn vẹn như Lobachewsky.

Lobachewsky là người đầu tiên giới thiệu các khái niệm một cách rộng rãi, và còn phát triển chúng sau đó trong một số bài báo. Vì thế, bộ môn hình học mới được gọi là hình học Lobachewsky.

26. Hình học Riemann là gì?

Riemann, một nhà toán học người Đức, vào khoảng năm 1854, đã nghĩ tới việc thay thế định đề hai đường song song bằng định đề sau đây:

Qua một điểm cho trước không thuộc một đường thẳng cho trước, không vẽ được đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho.

Một hệ quả logic của giả thiết này đưa ông đến với một bộ môn hình học trong đó tổng ba góc của một tam giác lớn hơn 180 độ.

Bộ môn hình học này được gọi là hình học Riemann.

27. Những định lí nào đúng trong cả ba bộ môn hình học?

Những định lí hình học Euclid không phụ thuộc vào định đề hai đường song song thì vẫn không thay đổi. Ví dụ, các định lí sau đây là đúng trong cả ba bộ môn hình học:

(i) Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

(ii) Hai góc đáy của một tam giác cân thì bằng nhau.

28. Đâu là chỗ khác nhau giữa ba bộ môn hình học?

So sánh dưới đây nêu rõ những chỗ khác biệt.

Trong hình học Euclid:

(i) Tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180 độ.

(ii) Hai đường thẳng song song thì không bao giờ gặp nhau, cho dù có kéo dài ra bao xa, và luôn luôn cách nhau một khoảng không đổi.

(iii) Hai tam giác có thể có ba góc bằng nhau nhưng diện tích khác nhau. Hai tam giác như vậy được gọi là tam giác đồng dạng, và tam giác này là hình phóng to của tam giác kia.

(iv) Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vuông góc với đường thẳng đó.

(v) Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó bằng p.

Trong hình học Lobachewsky:

(i) Tổng ba góc của một tam giác luôn nhỏ hơn 180^o, và lượng nhỏ hơn tỉ lệ với diện tích của tam giác.

(ii) Hai đường thẳng song song thì không bao giờ gặp nhau, nhưng khoảng cách giữa chúng nhỏ dần đi khi kéo dài chúng ra xa.

(iii) Chỉ hai tam giác bằng nhau về diện tích mới có ba góc bằng nhau, cho nên hai tam giác có diện tích khác nhau không bao giờ có thể đồng dạng. Trong bộ môn hình học này, khi một tam giác tăng diện tích, thì tổng số đo ba góc của nó giảm.

(iv) Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vuông góc với đường thẳng đó giống như trong hình học Euclid.

(v) Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó luôn lớn hơn p, và tỉ số đó càng lớn khi diện tích vòng tròn càng lớn.

Trong hình học Riemann:

(i) Tổng ba góc của một tam giác luôn lớn hơn 180^o.

(ii) Mỗi cặp đường thẳng nằm trong một mặt phẳng phải cắt nhau.

(iii) Tam giác càng lớn thì góc càng lớn.

(iv) Có thể vẽ vô số đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng cho trước.

(v) Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó luôn nhỏ hơn p, và giảm khi diện tích của vòng tròn tăng.

29. Bộ môn hình học nào đúng?

Mỗi bộ môn hình học đều đúng nhưng chỉ trên những mặt mà nó có nghĩa thôi.

Hình học Euclid áp dụng cho những hình vẽ trên một tờ giấy hoặc trên một mặt phẳng.

Hình học phi Euclid của Riemann rất gần đúng cho những hình vẽ trên bề mặt của một hình cầu.

Hình học phi Euclid của Lobachewsky đúng cho những hình vẽ trên một mặt gọi là giả cầu. Xem bên dưới:

Mặt giả cầu là mặt tròn xoay thu được bằng cách quay đường cong gọi là tractrix xung quanh trục thẳng đứng Oy.

Các tam giác vẽ trên những mặt khác nhau được thể hiện trong hình bên dưới:

Mỗi môn hình học hoạt động tốt trên mặt tương ứng của nó.

30. Vì một môn hình học được sáng tạo chỉ dựa trên hệ thống tiên đề của nó, vậy đâu là khả năng phụ thuộc của nó vào thế giới vật chất?

Đặc điểm của không gian vật lí của chúng ta được xác định chính xác bởi hình học Euclid nên trong hơn 2000 năm áp dụng nó luôn được xem là chân lí tuyệt đối về không gian vật lí.

Chỉ đến khi khám phá ra các môn hình học phi Euclid người ta mới nhận ra rằng hình học không phải là chân lí về không gian vật lí. Nó chỉ là một nghiên cứu của những không gian có thể có.

Những môn hình học khác nhau, được xác định bởi những hệ tiên đề khác nhau, do đó, không phải là những mô tả của thực tại.

Chúng đơn thuần là những mô hình mà thôi.

Từ quan điểm này, một cái khá may mắn là mô hình Euclid mô tả thực tại khá đầy đủ.

31. Vậy một định lí toán học thì có ý nghĩa gì?

Một định lí toán học về căn bản là một xác nhận có điều kiện.

Nó chỉ đúng nếu tập hợp các giả thiết từ đó suy ra nó là đúng.

Nhưng còn chuyện tập hợp các giả thiết đó là đúng hay sai thì định lí không xác nhận.

32. Tại sao? Nguyên nhân là gì?

Nguyên nhân là vì các giả thiết được lập theo các khái niệm, nói đại khái chúng không có ý nghĩa đặc biệt nào, cho nên các giả thiết là đúng hay sai không thể xác nhận được.

33. Phải chăng hình học Euclid không mâu thuẫn với các hình học phi Euclid?

Đúng vậy. Vì một mặt phẳng có độ cong bằng không, nên nếu thay số không vào giá trị của độ cong trong các công thức của các hình học phi Euclid, thì các công thức thu được giống hệt với các công thức của hình học Euclid.

Vì vậy, hình học Euclid có thể xem là một trường hợp đặc biệt của các hình học phi Euclid, chúng vốn khái quát hơn.

34. Một đường thẳng có ý nghĩa gì?

Một cái hiện ra ngay trong đầu là các đường thẳng trên một mặt cầu hay mặt giả cầu thật ra là bị cong và có vẻ không thích hợp gọi chúng là thẳng.

Nhưng tất cả tùy thuộc vào cách chúng ta định nghĩa một đường thẳng.

Một cách định nghĩa một đường thẳng là nhận ra nó là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm.

35. Định nghĩa này làm đơn giản vấn đề như thế nào?

Bây giờ khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt của một hình cầu không phải là một đường thẳng mà là một đoạn của đường tròn nằm trên bề mặt của hình cầu đó.

Một đường tròn như vậy được gọi là “đường tròn lớn” và tâm của nó nằm tại tâm của hình cầu.^*

^* Nếu hai điểm nằm trên bề mặt của hình cầu được nối lại với sự hỗ trợ của một cái thước đâm xuyên qua hình cầu, thì đường thẳng thu được sẽ không còn nằm trên bề mặt của hình cầu nữa.

Nhưng vì đường thẳng đó phải nằm trên bề mặt, nên nó phải đi theo “đường tròn lớn”.

Một đường tròn lớn chia hình cầu thành hai phần bằng nhau. Đường xích đạo là một đường tròn lớn, nhưng các đường vĩ tuyến thì không phải. Một đường kinh tuyến là nửa đường tròn lớn.

Khái quát hóa khái niệm này, đường cong nằm trên một bề mặt và là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt đó được gọi là “đường trắc đạc” trên bề mặt đó.

Trên mặt phẳng thì đường trắc đạc là đường thẳng.

36. Đường trắc đạc trên những mặt khác nhau có khác nhau không?

Vâng, đường trắc đạc khác nhau tùy theo mặt nhất định.

Đường trắc đạc trên mặt phẳng thì hướng theo đường thẳng. Hai đường trắc đạc bất kì trên một mặt phẳng cắt nhau tại một điểm, nhưng nếu chúng song song thì chúng không bao giờ cắt nhau.

Đường trắc đạc trên mặt cầu thì hướng theo đường tròn lớn. Trên một mặt cầu, hai đường trắc đạc, cho dù chúng có vẻ song song nhau, luôn luôn cắt nhau tại hai điểm.

Trong trường hợp Trái đất của chúng ta, toàn bộ các đường kinh tuyến là đường trắc đạc. Tại xích đạo, tất cả các kinh tuyến trông song song nhau, nhưng chúng đều cắt nhau tại hai cực.

Các đường trắc đạc trên mặt giả cầu tiến đến càng sát nhau càng tốt, nhưng chúng không bao giờ cắt nhau.

37. Cái gì xác định bản chất của đường trắc đạc?

Bản chất của đường trắc đạc trên một mặt phụ thuộc vào độ cong của mặt đó.

Một mặt phẳng có độ cong bằng không.

Một mặt cầu có độ cong dương không đổi tại mỗi điểm trên mặt của nó.

Bề mặt của một quả trứng có độ cong dương nhưng nó biến thiên từ điểm này sang điểm khác.

Một mặt giả cầu có độ cong âm không đổi.

Một mặt giống như mặt yên ngựa có độ cong âm.

(còn tiếp)