Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 8)

146. Chủ nghĩa hình thức Hilbert có nghĩa là gì?

Sự tiên đề hóa các hệ thống toán học đưa đến quan điểm rằng toán học được xem là một trò chơi thuần túy với những nước đi thuần túy trên giấy tuân theo những quy tắc rõ ràng nhất định. Trò chơi và các nước đi đó được xem là không có ý nghĩa hay cách hiểu gì cả.

Vì thế, các hệ thống được hình thức hóa theo nghĩa này và kết cục là chủ nghĩa hình thức Hilbert.

147. Ưu điểm của chủ nghĩa hình thức này là gì?

Ưu điểm của việc xem những hệ thống toán học là những hệ hình thức là nhờ đó người ta thoát khỏi nhiều câu hỏi rắc rối và không cần thiết, nếu không thì chúng là câu hỏi căn bản và không dễ gì bác bỏ triệt để.

148. Những câu hỏi đó là gì?

Để sáng tỏ, hãy xét những câu hỏi sau đây:

Các con số là gì?

Các con số có tồn tại không?

Làm thế nào chúng ta biết được các quy tắc của các con số là đúng?

Những câu hỏi này khác như vậy là những câu hỏi quan trọng, nhưng trong một hệ hình thức hóa thì chúng trở nên không cần thiết và phải rời khỏi cuộc chơi.

Các công thức của hệ, khi đó, có ý nghĩa bất kì, chúng không đúng cũng chẳng sai, và không đưa ra khẳng định nào về sự tồn tại của bất cứ cái gì.

149. Gödel chứng minh kết quả của ông như thế nào?

Gödel đánh số các kí hiệu, các công thức, và các chuỗi công thức, tức là các chứng minh trong chủ nghĩa hình thức Hilbert theo một kiểu nhất định gọi là đánh số Gödel, và từ đó biến đổi mọi khẳng định thành những mệnh đề toán học.

Phương pháp của ông gồm một tập hợp những quy tắc tạo ra một tương ứng một-một giữa các số nguyên và những kí hiệu đa dạng hoặc các tổ hợp kí hiệu. Khi đó ông có thể chứng minh rằng tính nhất quán của số học là không thể quyết định được bởi bất kì lập luận nào thuộc chủ nghĩa hình thức của số học.

Để tiếp tục chứng minh thật sự, người ta phải quán triệt trước bốn mươi sáu định nghĩa sơ bộ và một vài bổ đề quan trọng.

Chứng minh đó là khó và lập luận quá phức tạp để một người không chuyên toán có thể theo dõi.

150. Nghiên cứu của Gödel chỉ có ý nghĩa tiêu cực thôi hay sao?

Không.

Công trình của Gödel đưa ra một kĩ thuật phân tích mới trong các nền tảng của toán học và làm phát sinh một ngành toán học rất quan trọng, đó là Lí thuyết Chứng minh.

Kĩ thuật thật sự đã đánh thức sự hoạt động sôi nổi trong ngành logic toán và kết cục của nó khó mà nói trước được.

Công trình của Gödel thật ra đã khích lệ, chứ không làm thoái chí sự sáng tạo toán học.

151. Bài học do khám phá to lớn này mang lại là gì?

Khám phá để đời này làm sáng tỏ những hạn chế cố hữu của phương pháp suy luận. Nó thường được xem là một trong những thành tựu trí tuệ vĩ đại nhất của thế kỉ hai mươi.

Tuy nhiên, nó không nhất thiết gây ra sự chán nản hay tuyệt vọng.

Nó chỉ hàm ý rằng những phương pháp nghiên cứu sâu sắc hơn và phức tạp hơn vẫn chưa được nghĩ ra, vì luận giải sáng tạo thừa nhận không có hạn chế.

152. Vậy phương pháp tiên đề có bị từ bỏ hay không?

Không, còn lâu người ta mới bỏ. Trái lại, nó được công nhận là một kiểu mẫu biểu thị khuôn khổ logic được chấp nhận của bất kì mô hình toán học nào.

Thật vậy, kết quả của Gödel không dính líu gì đến công việc hằng ngày của chúng ta, nó không gây đe dọa cho cả nền toán học đang được sử dụng hằng ngày và ở mọi nơi.

153. Việc chấp nhận phương pháp tiên đề có công dụng gì khi mà một hệ nhất quán thì không thể hoàn chỉnh?

Đúng là với một số lượng đáng kể các phân ngành toán học, chúng ta không thể có những hệ hoàn chỉnh mà chỉ có những hệ không hoàn chỉnh được chúng ta khai sáng thêm. Ưu điểm là nó mang đến nhiều thành quả.

Tính không hoàn chỉnh của hệ không gây ngăn trở đối với công dụng của nó.

154. Vì sao phương pháp tiên đề được sử dụng rộng rãi như thế khi mà nó có những hạn chế cố hữu?

Phương pháp tiên đề và những hạn chế của nó là một bộ phận của những nền tảng toán học, còn việc nó được sử dụng rộng rãi là do sự áp dụng mang đến nhiều thành quả của nó.

Vì thế, lời khuyên là nên phân biệt giữa toán học và các ứng dụng của toán học.

Ví dụ, một hệ thống toán học mà chúng ta gọi là hình học không nhất thiết là một mô tả của không gian thực tế. Việc khẳng định một loại hình học nhất định là một mô tả của một không gian vật lí là một phát biểu vật lí, chứ không phải một phát biểu toán học.

Do đó, trong những ứng dụng rộng rãi của toán học, người ta không phải quan tâm về sự tồn tại toán học và các khái niệm toán học, chúng thật sự thuộc về miền đất nền tảng của toán học.

155. Cái gì là thích đáng cho các ứng dụng của toán học?

Cái thích đáng hay quan trọng cho các ứng dụng là các tiên đề và các khái niệm của một hệ thống toán học phải ăn khớp với các phát biểu về các đối tượng có thật và phải có thể xác nhận những phát biểu đó trên phương diện vật lí.

Kết quả của Gödel chẳng có liên quan gì đến các ứng dụng của toán học. Nó là kết quả của một nghiên cứu có chiều sâu về những nền tảng của toán học nói chung và sự tồn tại toán học nói riêng.

156. Tồn tại toán học có ý nghĩa chính xác là gì?

Chúng ta đã thấy các điểm và các đường thẳng của hình học là các trừu tượng của các đối tượng vật lí của chúng và không nhất thiết tương đồng với chúng.

Tương tự như vậy, các thực thể toán học không nhất thiết phải liên hệ gần gũi với các vật thể của thế giới vật chất.

Điều này cho thấy tồn tại toán học khác với tồn tại vật lí như thế nào.

Trong các ứng dụng của toán học, nếu mô hình vật lí khớp với mô hình toán học, thì các kết quả toán học có thể được tận dụng, nhưng sự tương ứng hoàn toàn giữa hai bên là không nhất thiết.

Các ứng dụng có liên quan với tồn tại vật lí nhưng các mô hình toán học thì chỉ quan tâm đến tồn tại toán học.

157. Tập hợp gồm những tiên đề nào là đủ cho đại số ở trường phổ thông?

Đại số ở nhà trường chủ yếu xử lí các con số. Tính chất của những con số và các toán tử thường gặp trên chúng có thể được phát triển từ tập hợp gồm những tiên đề sau đây:

1. Với hai con số bất kì, tổng của chúng được xác định duy nhất.

2. Với hai con số bất kì, tích của chúng được xác định duy nhất.

3. Tồn tại một số $0$ có tính chất $a + 0 = a.$

4. Với mỗi số $a$, tồn tại một số $x$ sao cho $a + x = 0.$

5. Phép cộng có tính giao hoán, tức là $a + b = b + a.$

6. Phép cộng có tính kết hợp, tức là $a + (b + c) = (a + b) + c.$

7. Phép nhân có tính giao hoán, tức là $ab = ba.$

8. Phép nhân có tính kết hợp, tức là $a(bc) = (ab)c.$

9. Phép nhân có tính phân phối, tức là $a(b + c) = ab + ac; (b + c)a = ba + ca.$

10. Với mỗi số $a$ và $b$ khác không, tồn tại một số $x$ duy nhất sao cho $bx = a.$

Bất kì hệ đại lượng nào thỏa mãn mười điều kiện này được gọi là một trường.

Các ví dụ của trường là tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số thực, và tập hợp số phức.

Trong mỗi trường hợp này, khi cộng và nhân các số thuộc tập hợp cho ta một con số cũng thuộc tập hợp đó, và các toán tử thỏa mãn mười điều kiện trên.

Ngoài những ví dụ này, có nhiều đại lượng khác của tự nhiên cũng tạo thành một trường. Các phân thức đại số, chẳng hạn, cũng tuân theo mười điều kiện này và vì thế tạo thành một trường.

158. Các hệ thống tiên đề mới được tạo ra như thế nào?

Có thể thu được những hệ thống tiên đề mới bằng cách loại trừ một hoặc nhiều tiên đề của một hệ thống đã cho.

Ví dụ, bằng cách bỏ đi tiên đề 7, chúng ta có một hệ tuân theo đại số ma trận, trong đó tích của hai ma trận phụ thuộc vào trật tự chúng được đem nhân.

Cũng có thể thu được những hệ thống tiên đề mới từ một hệ đã cho bằng cách thay đổi một hoặc nhiều tiên đề của nó theo một kiểu thích hợp.

Sự ra đời của một hệ tiên đề cho hình học phi Euclid từ các tiên đề của hình học Euclid, bằng cách thay thế tiên đề hai đường song song bởi một trong những phủ nhận của nó, là một ví dụ cho cách thu về một hệ thống tiên đề mới theo kiểu này.

Hết phần 1: Hình học và các loại hình học

Phần 2: Đại số và Các loại đại số

1. Hình học đã được phát triển ở hình thức tiên đề, còn Số học và Đại số thì không. Tại sao vậy?

Nguyên nhân nằm ở nguồn gốc của chúng.

Hình học đã được phát triển bởi người Ai Cập, là kết quả đo đạc đất đai của họ. Vào thế kỉ thứ 7 trước Công nguyên, hình học đã lan truyền từ Ai Cập sang Hi Lạp, nơi nó dần dần phát triển thành một lí thuyết toán học.

Như vậy, hình học là một lí thuyết toán học có nguồn gốc Hi Lạp. Người Hi Lạp đã gắn giá trị lớn cho các chứng minh và vì thế đã phát triển hình học theo hướng tiên đề.

Toán học của những con số của chúng ta có nguồn gốc của nó thuộc về toán học của người Hindu, người Arab và người Babylon.

Họ không quan tâm đến việc đưa ra các chứng minh nên toán học của những con số đã được truyền lại cho chúng ta đơn thuần ở dạng một tập hợp những quy tắc tính toán không liên quan với nhau mấy.

Xu hướng hiện đại là trình bày tất cả các nghiên cứu toán học theo hình thức tiên đề.

2. Ý nghĩa của từ “arithmetic” là gì?

Từ “arithmetic” (sự tính/số học) có nghĩa là “nghệ thuật tính toán” nên bài học ở trường tiểu học của chúng ta là một tập hợp gồm những lời giải của những bài toán đa dạng và các quy tắc tính toán.

Nhưng theo thời gian arithmetic đã biến thành lí thuyết của những con số.

3. Số học là một trừu tượng phải không?

Số học thể hiện những nỗ lực sớm nhất của trí tuệ con người đối với sự trừu tượng.

Như vậy, khi chúng ta nói, $2 + 3 = 5$, đó là một phát biểu không phải nói về những vật đặc biệt như cái bút chì hay đồng xu, mà về tất cả những vật có thể đếm được vẫn giữ được nhận dạng riêng của chúng.

Ở đây, bản chất của các vật, tức là chúng là cái bút chì hay đồng xu hay cây cối hay bất kì cái gì khác, dù sống hay không sống, vân vân... không còn liên quan nữa, và phát biểu thành ra đúng theo một kiểu chung chung.

Các con số được đặt tên (một, hai, ba,...) và kí hiệu $(1, 2, 3,...)$ và được sử dụng như những vật cụ thể bền bỉ đến mức chúng ta có xu hướng quên mất rằng chúng ta đang giải quyết các khái niệm chứ không phải các vật cụ thể.

4. Phát biểu $2 + 3 = 5$ có đúng cho mọi loại vật hay không?

Không. Nếu các vật không giữ được nhận dạng riêng của chúng, thì phát biểu trên có thể không đúng đối với chúng.

Ví dụ, thêm $2$ giọt nước vào $3$ giọt nước có thể chỉ tạo ra một giọt nước – một giọt nước lớn.

Tương tự, nếu nhốt $2$ con hổ và $3$ con thỏ chung một chuồng, thì sau một lúc nào đó có thể ta thấy chỉ còn hai con vật thôi – hai con hổ sẽ ăn thịt $3$ con thỏ cùng đường mạt lộ kia.

Một ví dụ nữa, một lực bằng $2$ đơn vị và một lực khác bằng $3$ đơn vị, hai lực cùng tác dụng vào một vật có thể cho hợp lực bằng bất kì giá trị nào nằm giữa $1$ và $5$ đơn vị lực tùy thuộc vào góc giữa chúng.

Nếu chúng tác dụng ngược chiều nhau, thì tổng của chúng sẽ bằng một đơn vị, còn nếu chúng tác dụng cùng chiều nhau, thì tổng của chúng sẽ bằng $5$ đơn vị.

Tuy nhiên, tổng của chúng sẽ bằng $4$ đơn vị nếu góc giữa chúng bằng $75,5^{o}$.

5. Sự mở rộng khái niệm số có nghĩa là gì?

Những con số đầu tiên gắn liền với những vật cụ thể nên khái niệm số ban đầu hạn chế với chỉ những con số nguyên. Các phân số xuất hiện tự nhiên sau đó và sự ra đời của một kí hiệu cho số không là một sự kiện lớn, còn các số âm được thừa nhận lại là một sự miễn cưỡng lớn.

Những con số như thế gộp chung lại được gọi là số hữu tỉ.

Một lần nữa sự mở rộng này bắt đầu, và đến lượt số vô tỉ và số phức được công nhận.

Một số vô tỉ là con số không thể biểu diễn được bằng thương của hai số nguyên. Ví dụ, $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ.

Số vô tỉ và số hữu tỉ được gọi chung là số thực.

Một số phức là một con số bất kì có dạng $a + bi$, trong đó $a$ và $b$ là số thực, và $i$ là kí hiệu cho căn bậc hai của trừ một, tức là $i^{2} = - 1.$

6. Các số siêu việt là gì?

Những số vô tỉ không bằng căn bậc hai của bất kì phương trình đại số nào được gọi là số siêu việt.

$e$ và $\pi$là những số như thế.

$$e = 2,71828...;\pi= 3,14159...$$

các dấu chấm ở cuối có nghĩa là chuỗi số không có kết thúc mà kéo dài đến vô tận.

Về các số siêu việt, có một kết quả thú vị do Gelfond chứng minh vào năm $1934$ là $\alpha^{\beta }$ là siêu việt nếu $\alpha$ là đại lượng đại số khác $0$ và khác $1$, và $\beta$ là đại lượng đại số và không phải số hữu tỉ. Như vậy, $2^{\sqrt{3}}, 3^{\sqrt{2}}, 5^{\sqrt{3}}$ là những số siêu việt. Nhưng nếu $\alpha$ và $\beta$ đều là siêu việt thì không biết $\alpha^{\beta }$ có siêu việt hay không. Ví dụ, người ta không rõ $e^{e}, \pi^{\pi}$ hoặc $\pi^{e}$ có là siêu việt hay không.

Tuy nhiên, $e^{i \pi} = - 1$ là một kết quả rất đẹp.

7. Vì sao đại số được gọi là số học khái quát hóa?

Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ.

Ở nhà trường, trẻ em được học rằng nếu lấy bình phương của một con số trừ cho 1, thì nó bằng tích của số liền trước và số liền sau con số đó.

Như vậy:

$$4^{2} – 1 = (4 + 1) (4 – 1).$$

$$5^{2} – 1 = (5 + 1) (5 – 1)$$

$$6^{2} – 1 = (6 + 1) (6 – 1).$$

Rõ ràng mệnh đề trên là đúng nếu ở chỗ $4, 5$ hoặc $6$, ta thay vào con số bất kì nào khác.

Nếu đưa một kí hiệu mới, ví dụ như $x$, để biểu diễn một con số bất kì và là một con số không có gì đặc biệt hết, thì mệnh đề trên có thể được viết khái quát như sau

$$x^{2} – 1 = (x + 1) (x – 1).$$

Việc đưa thêm vào kí hiệu $x$ là sự khởi đầu của đại số.

8. Sức mạnh của đại số nằm ở đâu?

Đại số có được phần lớn sức mạnh của nó từ việc xử lí bằng kí hiệu với các phần tử, các toán tử và các liên hệ.

Các kí hiệu $x, y, z,...$ được dùng làm các phần tử, phép cộng và phép nhân chủ yếu được dùng làm toán tử, và dấu bằng là liên hệ bình thường kết nối các phần tử.

Như vậy $x + x = 2x$ và $x + y = y + x$

cho dù $x$ và $y$ biểu diễn con số nào.

9. Đại số có được khái quát hóa không?

Kí hiệu $x$, dùng để biểu diễn con số bất kì, có tiềm năng giả định lớn. Trước tiên, nó mang đến các phương trình đại số, cái thống lĩnh địa hạt nghiên cứu lâu đến mức trong khoảng một thế kỉ rưỡi, đại số chỉ là lí thuyết của các phương trình.

Sau này $x$ không chỉ hạn chế là những con số mà nó còn được sử dụng để biểu diễn bất kì thực thể nào khác, và các dấu toán tử cho phép cộng và phép nhân đã được phép mang lại những ý nghĩa mới tùy thuộc vào loại thực thể đang được xét đến.

Vì thế, thực thể xác định ý nghĩa gắn liền với dấu $+$ và $\times$.

Các vector và ma trận là hai ví dụ quen thuộc của những thực thể như thế. Chúng sẽ được nói tới ở phần sau.

Đây là hình ảnh khái quát hóa của cái đại số ban đầu đại diện.

10. Nó khác như thế nào với hình thức ban đầu của đại số?

Trong đại số sơ cấp, các chữ cái kí hiệu cho những con số bình thường, và các dấu toán tử, ví dụ $+$ và $\times$ kí hiệu cho phép cộng và phép nhân bình thường. Nhưng ở hình thức khái quát hóa, các chữ cái kí hiệu cho thực thể bất kì nào đó, và dấu của toán tử là bất kì quy tắc kết hợp nào có liên quan đến thực thể.

(còn tiếp)