Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2013-2014

Bài 1. Cho trước số thực $a>0$ và dãy số thực $x_{n}$ xác định bởi $x_{1} =a$ và $x_{n+1}= \sqrt{17+16x_{n}}$ với mọi $n\geq 1$. Chứng minh rằng với mọi $a>0$ dãy $x_{n}$ có giới hạn khi $n\rightarrow$ dương vô cùng. Tìm giới hạn đó

Bài 2. Cho $3$ số $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}= 1$. Chứng minh rằng :

$$\sqrt{1-\frac{(x+y)^{2}}{4}}+\sqrt{1-\frac{(y+z)^{2}}{4}}+\sqrt{1-\frac{(z+x)^{2}}{4}}\geq \sqrt{6}$$

Bài 3. Tìm các số tự nhiên $x,y$ thỏa mãn phương trình

$$(x^{2}+y)(y^{2}+x)= 2(x-y)^{3}$$

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB<AC$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $E$ . $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$,

a, Chứng minh rằng $AE$ song song với $CD$

b, Đường thẳng $BE$ cắt $AT$ tại $F$ . Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $EO$ tại $G$ khác điểm $E$ . Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AGB$ nằm trên $(O)$

Bài 5. Một số nguyên dương $k$ được gọi là số đẹp nếu có thể phân hoạch tập hợp các số nguyên dương thành $k$ tập $A_{1},A_{2}....A_{k}$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n\geq 15$ và với mọi $i \in (1;2;....:k)$ đều tồn tại 2 số thuộc $A_{i}$ có tổng là $n$

a. Chứng minh rằng $k=3$ là số đẹp

b. Chứng minh rằng với mọi $k\geq 4$ đều không đẹp.