Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Đăk Lăk năm học 2013-2014

Ngày thứ 1:

Câu 1: (5 điểm)

Cho hàm sô $y=3(1+x^2)\sqrt{1+x^2}-\frac{13}{3}(1-x^2)\sqrt{1-x^2}$ $(C)$ , với $x\in [0;1]$ . Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ với hệ số góc lớn nhất.

Câu 2: (5 điểm)

Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}+4\sqrt[4]{xy^3}+3\sqrt[8]{y^3z^5}=1 \\ \frac{4x}{x+1}+\frac{2y}{y+1}+\frac{3z}{z+1}=1 \\ 8^9x^2y^4z^3=1 \end{matrix}\right.$$

Câu 3: (5 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Gọi $D$ là điểm thuộc cung $BC$ không chứa $A$ và $H,I,K$ lần lượt là hình chiếu của $D$ trên $BC,AC,AB$ . Tìm vị trí điểm $D$ sao cho:

$$S=\frac{AB}{DK}+\frac{AC}{DI}+\frac{BC}{DH}$$

đạt GTNN.

Câu 4: (5 điểm)

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn: $P(x+1)=P(x)+3x^2+3x+1,\forall x\in \mathbb{R}$

Ngày thứ 2:

Câu 1: (5 điểm)

Cho dãy $\left ( x_n \right )$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x_0=2013 & \\ x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n} & \end{matrix}\right.$

Tính $$\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{x_n^2}}{n}$$

Câu 2: (5 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để phương trình $(x+1)^n+(1-x)^n+(x+3)^n=0$ có một nghiệm nguyên.

Câu 3: (5 điểm)

Chứng minh rằng trong $1008$ số nguyên dương không vượt quá $2014$, luôn tồn tại ít nhất một số chia hết cho một số khác trong đó.

Câu 4: (5 điểm)

Cho tứ diện $ABCD$ trên các cạnh $AB$, $AC$ và $AD$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ và $P$ sao cho $AB=k.AM$, $AC=k.AN$ và $AD=(k+1).AP$ với $k\geq 1$ tùy ý. Chứng minh rằng mặt phẳng $(MNP)$ luôn luôn đi qua một đường thẳng cố định.

--- Hết ---