Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSmath.js
22/12/13

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế .
a. Dùng một ẩn phụ .
Ví dụ 25: Giải phương trình x^2 + \sqrt{x + 5} = 5

Lời giải:
ĐK: x \geq - 5
Đặt t = \sqrt{x + 5} , t \geq 0 . Khi đó: x = t^2 - 5. Do đó ta có:
\left\{ \begin{array}{l} x^2 + t = 5 \\ t^2 - x = 5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 + t = 5 \\ x^2 - t^2 + t + x =0 \\ \end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 + t = 5 \\ (x + t)(x + 1 - t) = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \begin{array}{l} \\ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x^2 + t = 5 \\ x + t = 0 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x^2 + t = 5 \\ x + 1 - t = 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \\ \end{array}
Giải hệ và kiểm tra điều kiện, ta được:
x = \frac{{ \pm 1 - \sqrt {21} }}{2}

Bài toán tổng quát: Giải phương trình
x^2 + \sqrt{x + a} = a

b. Dùng 2 ẩn phụ .
Đối với phương trình dạng
\sqrt[m]{a + f(x)} + \sqrt[n]{b - f(x)} = c
Ta đặt:
u = \sqrt[m]{a + f(x)};v = \sqrt[n]{b - f(x)}
Như vậy ta có hệ:
\left\{ \begin{array}{l} u + v = c \\ u^m + v^n = a + b \\ \end{array} \right.

Ví dụ 26: Giải phương trình
\sqrt[4]{57 - x} + \sqrt[4]{x + 40} = 5, \ \ \ (1)
Lời giải:
ĐK: - 40 \leq x \leq 57
Đặt u = \sqrt[4]{57 - x} ; v = \sqrt[4]{x + 40}
Khi đó:
(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 5 \\ u^4 + v^4 = 97 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 5 \\ 2(uv)^2 - 10uv + 528 = 0 \\ \end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 5 \\ \left[ \begin{array}{l} uv = 6 \\ uv = 44 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 5 \\ uv = 6 \\ \end{array} \right.

Ta thu được u = 2 ; v = 3 hoặc u = 3 ; v = 2. Đến đây chỉ việc thay vào để tìm nghiệm của phương trình ban đầu .

Ví dụ 27: Giải phương trình
\sqrt{\sqrt{2} - 1 - x } + \sqrt[4]{x} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{2} }
Lời giải:
ĐK: 0 \leq x \leq \sqrt{2} - 1
Đặt: \sqrt{\sqrt{2} - 1 - x } = u ;\sqrt[4]{x} = v Với 0 \leq u \leq \sqrt{\sqrt{2} - 1} ; 0 \leq v \leq \sqrt[4]{\sqrt{2} - 1}
Như vậy ta được hệ:
\left\{\begin{array}{l}u+v=\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\\u^2+v^4=\sqrt{2}-1.\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}u=\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}-v\\ \left (\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}-v \right)^2+v^4=\sqrt{2}-1\end{array}\right.

Giải (1):
(1)\Rightarrow (v^2+1)^2-\left (\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}+v\right )^2 = 0\Rightarrow v^2-v+1-\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}=0

\Rightarrow v_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{\dfrac{4}{\sqrt[4]{2}}-3}}{2},\ \ (v_{1,2} > 0)
Vậy v_{1,2} (thỏa mãn điều kiện) chính là 2 nghiệm của phương trình đã cho .

Ví dụ 28: Giải phương trình:
\sqrt{\dfrac{7}{4}\sqrt{x} - 1 + x^2} = (1 - \sqrt{x})^2
Lời giải:
Đặt: y = \sqrt{x} , y \geq 0;z = 1 - \sqrt{x}. Ta có:
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y+z=1, \ \ \ (1)\\uv=6 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y + z = 1 \\ {y^4} - {z^4} = \frac{7}{4}\sqrt x - 1, \ \ (2)\end{gathered} \right.
Thế (1) vào (2) ta có
y^4 - (1 - y)^4 = \dfrac{7}{4}y - 1\Rightarrow 4y(y - \dfrac{3}{4})^2 = 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y=0\\y=\frac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=\frac{9}{{16}}\end{array} \right.

2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1: Phương trình dạng x^n + b = a\sqrt[n]{ax - b}
Cách giải: Đặt t = \sqrt[n]{ax - b} ta có hệ:
\left\{\begin{matrix}x^n + b = at\\t^n + b = ax\end{matrix}\right.

Ví dụ 29: Giải phương trình x^3 + 1 = 2\sqrt[3]{2x - 1}
Lời giải:
Đặt: t = \sqrt[3]{2x - 1} ta có:
t^3=2x-1\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x^3+1=2t\\t^3+1= 2x\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3+1=2t \\x^3-t^3=2(t-x)\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3+1=2t\\(x-t)(x^2+t^2+t+tx+2)=0\end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=t\\x^3-2x+1=0\ \ \ (1)\end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix}x^3+1=2t\\x^2+t^2+tx+2=0, \ \ \ (2)\end{matrix}\right.
(1)\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x-1)=0\Leftrightarrow x=1\vee x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}
(2) \Leftrightarrow (t + x)^2 + x^2 + t^2 + 4 = 0, \ \ (3)
Phương trình (3) vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là: x=1 ;x= \dfrac{- 1 \pm \sqrt{5} }{2}

Dạng 2: Phương trình dạng x = a + \sqrt{a + \sqrt{x} }
Cách giải: Đặt t = a + \sqrt{x}
PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = a + \sqrt{t} \\t = a + \sqrt{x}\end{matrix}\right.

Ví dụ 30: Giải phương trình x = 2007 + \sqrt{2007 + \sqrt{x} }
Lời giải:
ĐK: x > 0
Đặt: t = 2007 + \sqrt{x},\ \ (1)
PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2007 + \sqrt{t},\ \ (2) \\t = 2007 + \sqrt{x}, \ \ (3)\end{matrix}\right.
Trừ từng vế của (3) cho (2) ta được:
x - t = \sqrt{t} - \sqrt{x} \Leftrightarrow (\sqrt{t} - \sqrt{x})(\sqrt{t} + \sqrt{x} + 1) = 0\Leftrightarrow x = t
(1) \Rightarrow x - \sqrt{x} - 2007 = 0\Rightarrow x = \dfrac{8030 + 2\sqrt{8029} }{4}\ \ (x > 0)

Dạng 3: Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược:
Ví dụ 31: Giải phương trình x^2 - 2x = 2\sqrt{2x - 1}
Lời giải:
ĐK: x \geq \dfrac{1}{2}. Đặt\sqrt{2x - 1} = ay + b . Chọn a, b để hệ:
(I) \left\{ \begin{matrix}x^2 - 2x = 2(ay + b) \\(ay + b)^2 = 2x - 1\end{matrix}\right. ,\ \ \left (x \geq \dfrac{1}{2} ; y \geq 1 \right )
là hệ đối xứng.
Lấy a = 1 , b = - 1 ta được hệ:
\left\{ \begin{matrix}x^2 - 2x = 2(y - 1) \\y^2 - 2y = 2(x - 1)\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x^2 - 2x = 2(y - 1) \\x^2 - y^2 = 0\end{matrix}\right.
Giải hệ trên ta được: x = y = 2 \pm \sqrt{2}
Đối chiếu với điều kiện của hệ (I) ta được nghiệm duy nhất của phương trình là: x = 2 + \sqrt{2}

Dạng 4 :
Nội dung phương pháp :
Cho phương trình : \sqrt[n]{ax + b} = c(dx + e)^n + \alpha x + \beta
Với các hệ số thỏa mãn :
\left\{\begin{matrix}d=ac+\alpha\\ e=bc+\beta\end{matrix}\right.
Cách giải: Đặt dy + e = \sqrt[n]{ax + b}

Ví dụ 32: Giải phương trình:
\sqrt{\dfrac{4x + 9}{28} } = 7x^2 + 7
Lời giải:
ĐK : x \geq - \dfrac{9}{4}
PT\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{4x + 9}{28} } = 7(x + \dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{7}{4}
- Kiểm tra: a = \dfrac{1}{7}; b = \dfrac{9}{28} ; c = 7 ; d = 1 ; e = \dfrac{1}{2} ; \alpha = 0 ; \beta = - \dfrac{7}{4} .
Đặt
y + \dfrac{1}{2} = \sqrt{\dfrac{4x + 9}{28} }
\Leftrightarrow y^2 + y + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4x + 9}{28}\Leftrightarrow 7y^2 + 7y + \dfrac{7}{4} = x + \dfrac{9}{4}\Leftrightarrow x + \dfrac{1}{2} = 7y^2 + 7, \ \ \ (1)
Mặt khác : y + \dfrac{1}{2} = 7x^2 + 7,\ \ \ (2)
Từ (1)(2) ta có hệ :
\left\{\begin{matrix}x + \dfrac{1}{2} = 7y^2 + 7 \\y + \dfrac{1}{2} = 7x^2 + 7 \end{matrix}\right.
Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải .

Ví dụ 33 : Giải phương trình
x^2 - 6x + 3 = \sqrt{x + 3} , x \geq 3 .
Lời giải
PT \Leftrightarrow (x - 3)^2 - 6 = \sqrt{x + 3}
- Kiểm tra : a = 1 ; b = 3 ; c = 1 ; d = 1 ; e = -3 ; \alpha = 0 ; \beta = - 6 .
Đặt :
y - 3 = \sqrt{x + 3} \Leftrightarrow y^2 - 6y + 9 = x +3 \Leftrightarrow x - 3 = y^2 - 6y + 3, \ \ \ (1)
Mặt khác : y - 3 = x^2 - 6x + 3, \ \ \ (2)
Từ (1)(2) ta có hệ :
\left\{\begin{matrix}x - 3 = y^2 - 6y + 3 \\ y - 3 = x^2 - 6x + 3 \end{matrix}\right.
Các bạn tự giải hệ trên.

Theo diendantoanhoc.net

0 nhận xét:

Đăng nhận xét

- Hãy dùng tiếng Việt có dấu để mọi người dễ đọc hơn!
- Các bạn hãy Mã hóa Code trước khi chèn vào nhận xét
- Chèn link bằng thẻ: <a href="URL liên kết" rel="nofollow">Tên link</a>
- Tạo chữ <b>đậm</b> và <i>Ngiêng</i>
- Hướng dẫn gõ công thức Toán trên blog bằng MathType
Thank you

:) :)) ;(( :-) =)) ;( ;-( :d :-d @-) :p :o :>) (o) [-( :-? (p) :-s (m) 8-) :-t :-b b-( :-# =p~ $-) (b) (f) x-) (k) (h) (c) cheer
Click to see the code!
To insert emoticon you must added at least one space before the code.