Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỉ (phần 4)

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế .
a. Dùng một ẩn phụ .
Ví dụ 25: Giải phương trình $x^2 + \sqrt{x + 5} = 5$

Lời giải:
ĐK: $x \geq - 5$
Đặt $t = \sqrt{x + 5} , t \geq 0 $. Khi đó: $x = t^2 - 5$. Do đó ta có:
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2 + t = 5 \\ t^2 - x = 5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 + t = 5 \\ x^2 - t^2 + t + x =0 \\ \end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 + t = 5 \\ (x + t)(x + 1 - t) = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \begin{array}{l} \\ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x^2 + t = 5 \\ x + t = 0 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x^2 + t = 5 \\ x + 1 - t = 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$$
Giải hệ và kiểm tra điều kiện, ta được:
$$x = \frac{{ \pm 1 - \sqrt {21} }}{2}$$

Bài toán tổng quát: Giải phương trình
$$x^2 + \sqrt{x + a} = a$$

b. Dùng 2 ẩn phụ .
Đối với phương trình dạng
$$\sqrt[m]{a + f(x)} + \sqrt[n]{b - f(x)} = c$$
Ta đặt:
$$u = \sqrt[m]{a + f(x)};v = \sqrt[n]{b - f(x)}$$
Như vậy ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l} u + v = c \\ u^m + v^n = a + b \\ \end{array} \right.\]

Ví dụ 26: Giải phương trình
$$\sqrt[4]{57 - x} + \sqrt[4]{x + 40} = 5, \ \ \ (1)$$
Lời giải:
ĐK: $ - 40 \leq x \leq 57$
Đặt $u = \sqrt[4]{57 - x} ; v = \sqrt[4]{x + 40}$
Khi đó:
$$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 5 \\ u^4 + v^4 = 97 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 5 \\ 2(uv)^2 - 10uv + 528 = 0 \\ \end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 5 \\ \left[ \begin{array}{l} uv = 6 \\ uv = 44 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 5 \\ uv = 6 \\ \end{array} \right.$$

Ta thu được $u = 2 ; v = 3 $hoặc $u = 3 ; v = 2$. Đến đây chỉ việc thay vào để tìm nghiệm của phương trình ban đầu .

Ví dụ 27: Giải phương trình
$$\sqrt{\sqrt{2} - 1 - x } + \sqrt[4]{x} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{2} }$$
Lời giải:
ĐK: $0 \leq x \leq \sqrt{2} - 1 $
Đặt: $\sqrt{\sqrt{2} - 1 - x } = u ;\sqrt[4]{x} = v$ Với $0 \leq u \leq \sqrt{\sqrt{2} - 1} ; 0 \leq v \leq \sqrt[4]{\sqrt{2} - 1}$
Như vậy ta được hệ:
$$\left\{\begin{array}{l}u+v=\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\\u^2+v^4=\sqrt{2}-1.\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}u=\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}-v\\ \left (\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}-v \right)^2+v^4=\sqrt{2}-1\end{array}\right.$$

Giải $(1)$:
$$(1)\Rightarrow (v^2+1)^2-\left (\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}+v\right )^2 = 0\Rightarrow v^2-v+1-\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}=0$$

$$\Rightarrow v_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{\dfrac{4}{\sqrt[4]{2}}-3}}{2},\ \ (v_{1,2} > 0)$$
Vậy $v_{1,2}$ (thỏa mãn điều kiện) chính là 2 nghiệm của phương trình đã cho .

Ví dụ 28: Giải phương trình:
$$\sqrt{\dfrac{7}{4}\sqrt{x} - 1 + x^2} = (1 - \sqrt{x})^2$$
Lời giải:
Đặt: $y = \sqrt{x} , y \geq 0;z = 1 - \sqrt{x}$. Ta có:
$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y+z=1, \ \ \ (1)\\uv=6 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y + z = 1 \\ {y^4} - {z^4} = \frac{7}{4}\sqrt x - 1, \ \ (2)\end{gathered} \right. $$
Thế $(1)$ vào $(2)$ ta có
$$y^4 - (1 - y)^4 = \dfrac{7}{4}y - 1\Rightarrow 4y(y - \dfrac{3}{4})^2 = 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y=0\\y=\frac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=\frac{9}{{16}}\end{array} \right.$$

2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1: Phương trình dạng $x^n + b = a\sqrt[n]{ax - b}$
Cách giải: Đặt $t = \sqrt[n]{ax - b}$ ta có hệ:
$$\left\{\begin{matrix}x^n + b = at\\t^n + b = ax\end{matrix}\right.$$

Ví dụ 29: Giải phương trình $x^3 + 1 = 2\sqrt[3]{2x - 1}$
Lời giải:
Đặt: $t = \sqrt[3]{2x - 1}$ ta có:
$$t^3=2x-1\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x^3+1=2t\\t^3+1= 2x\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3+1=2t \\x^3-t^3=2(t-x)\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3+1=2t\\(x-t)(x^2+t^2+t+tx+2)=0\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=t\\x^3-2x+1=0\ \ \ (1)\end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix}x^3+1=2t\\x^2+t^2+tx+2=0, \ \ \ (2)\end{matrix}\right.$$
$$(1)\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x-1)=0\Leftrightarrow x=1\vee x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$$
$$(2) \Leftrightarrow (t + x)^2 + x^2 + t^2 + 4 = 0, \ \ (3) $$
Phương trình $(3)$ vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là: $x=1 ;x= \dfrac{- 1 \pm \sqrt{5} }{2}$

Dạng 2: Phương trình dạng $x = a + \sqrt{a + \sqrt{x} }$
Cách giải: Đặt $t = a + \sqrt{x}$
$$PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = a + \sqrt{t} \\t = a + \sqrt{x}\end{matrix}\right.$$

Ví dụ 30: Giải phương trình $x = 2007 + \sqrt{2007 + \sqrt{x} }$
Lời giải:
ĐK: $x > 0$
Đặt: $t = 2007 + \sqrt{x},\ \ (1)$
$$PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2007 + \sqrt{t},\ \ (2) \\t = 2007 + \sqrt{x}, \ \ (3)\end{matrix}\right.$$
Trừ từng vế của $(3)$ cho $(2)$ ta được:
$$x - t = \sqrt{t} - \sqrt{x} \Leftrightarrow (\sqrt{t} - \sqrt{x})(\sqrt{t} + \sqrt{x} + 1) = 0\Leftrightarrow x = t$$
$$(1) \Rightarrow x - \sqrt{x} - 2007 = 0\Rightarrow x = \dfrac{8030 + 2\sqrt{8029} }{4}\ \ (x > 0)$$

Dạng 3: Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược:
Ví dụ 31: Giải phương trình $x^2 - 2x = 2\sqrt{2x - 1} $
Lời giải:
ĐK: $x \geq \dfrac{1}{2}$. Đặt$\sqrt{2x - 1} = ay + b $. Chọn $a, b$ để hệ:
$$(I) \left\{ \begin{matrix}x^2 - 2x = 2(ay + b) \\(ay + b)^2 = 2x - 1\end{matrix}\right. ,\ \ \left (x \geq \dfrac{1}{2} ; y \geq 1 \right )$$
là hệ đối xứng.
Lấy $a = 1 , b = - 1 $ta được hệ:
$$ \left\{ \begin{matrix}x^2 - 2x = 2(y - 1) \\y^2 - 2y = 2(x - 1)\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x^2 - 2x = 2(y - 1) \\x^2 - y^2 = 0\end{matrix}\right.$$
Giải hệ trên ta được: $x = y = 2 \pm \sqrt{2}$
Đối chiếu với điều kiện của hệ $(I)$ ta được nghiệm duy nhất của phương trình là: $x = 2 + \sqrt{2}$

Dạng 4 :
Nội dung phương pháp :
Cho phương trình : $\sqrt[n]{ax + b} = c(dx + e)^n + \alpha x + \beta$
Với các hệ số thỏa mãn :
$$\left\{\begin{matrix}d=ac+\alpha\\ e=bc+\beta\end{matrix}\right.$$
Cách giải: Đặt $dy + e = \sqrt[n]{ax + b}$

Ví dụ 32: Giải phương trình:
$$\sqrt{\dfrac{4x + 9}{28} } = 7x^2 + 7$$
Lời giải:
ĐK : $x \geq - \dfrac{9}{4}$
$$PT\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{4x + 9}{28} } = 7(x + \dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{7}{4}$$
- Kiểm tra: $a = \dfrac{1}{7}; b = \dfrac{9}{28} ; c = 7 ; d = 1 ; e = \dfrac{1}{2} ; \alpha = 0 ; \beta = - \dfrac{7}{4} .$
Đặt
$$y + \dfrac{1}{2} = \sqrt{\dfrac{4x + 9}{28} }$$
$$\Leftrightarrow y^2 + y + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4x + 9}{28}\Leftrightarrow 7y^2 + 7y + \dfrac{7}{4} = x + \dfrac{9}{4}\Leftrightarrow x + \dfrac{1}{2} = 7y^2 + 7, \ \ \ (1)$$
Mặt khác : $y + \dfrac{1}{2} = 7x^2 + 7,\ \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ :
$$\left\{\begin{matrix}x + \dfrac{1}{2} = 7y^2 + 7 \\y + \dfrac{1}{2} = 7x^2 + 7 \end{matrix}\right.$$
Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải .

Ví dụ 33 : Giải phương trình
$$x^2 - 6x + 3 = \sqrt{x + 3} , x \geq 3 .$$
Lời giải
$$PT \Leftrightarrow (x - 3)^2 - 6 = \sqrt{x + 3}$$
- Kiểm tra : $a = 1 ; b = 3 ; c = 1 ; d = 1 ; e = -3 ; \alpha = 0 ; \beta = - 6 .$
Đặt :
$$y - 3 = \sqrt{x + 3} \Leftrightarrow y^2 - 6y + 9 = x +3 \Leftrightarrow x - 3 = y^2 - 6y + 3, \ \ \ (1)$$
Mặt khác : $y - 3 = x^2 - 6x + 3, \ \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ :
$$\left\{\begin{matrix}x - 3 = y^2 - 6y + 3 \\ y - 3 = x^2 - 6x + 3 \end{matrix}\right.$$
Các bạn tự giải hệ trên.

Theo diendantoanhoc.net