ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TÍNH TỔNG

Giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong quá trình giảng dạy người thầy cần tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học để xây dựng các dạng bài tập mới về số phức cho học sinh tư duy, giải quyết. Trong bài viết này xin trình bày về vấn đề “Ứng dụng số phức để tính tổng của các” trên cơ sở khai thác tính chất của số phức và vận dụng khai triển nhị thức Newton.

NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT:
    1- Khai triển nhị thức Newton:
        Với mọi x và với mọi nN* ta có:
            (1 + x)n = ${\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{0}} + {\rm{xC}}_{\rm{n}}^{\rm{1}} + {{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{2}} + ... + {{\rm{x}}^{{\rm{n - 1}}}}{\rm{C}}_{\rm{n}}^{{\rm{n - 1}}} + {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{n}}$
    2- Các tính chất của số phức dùng trong đề tài:
    * Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ bằng nhau khi và chỉ khi x = x/ và y = y/
    * z = r(cos + isin)  zn = [r(cos + isin)]n = rn(cosn + isinn)
    * Giải phương trình: x3 – 1 = 0
Ta được các nghiệm là x1 = 1; ${x_2} =  - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$;${x_3} =  - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$.
Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1.
Đăt: $\varepsilon  =  - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ $ \Rightarrow {{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}} =  - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} + \frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}{\rm{i}}$ và ${\rm{\varepsilon }}$ có các tính chất sau:
1)    ${\rm{\varepsilon }}$ + ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$ = -1
2)      ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{3}}} = 1$
3)      ${{\rm{\varepsilon }}^{{\rm{3k}}}} = 1$
4)     ${{\rm{\varepsilon }}^{{\rm{3k}} + {\rm{1}}}} = {\rm{\varepsilon }}$
5)    ${{\rm{\varepsilon }}^{{\rm{3k}} + {\rm{2}}}} = {{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$
        (k – nguyên).
    3- Khi nào thì dùng số phức để tính tổng của các $C_n^k$?
    Đây là vấn đề lớn nhất cần chú ý cho học sinh. Ta dùng số phức để tính tổng của các ${\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{k}}$ khi tổng này có hai đặc điểm:
* Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau .
* k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư (trong chương trình phổ thông ta chỉ cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2).
   
4- Các tổng của $C_n^k$ được tính như thế nào ?
* Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i). So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính.
* Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là $ \pm \frac{\pi }{6}$, $ \pm \frac{\pi }{4}$, $ \pm \frac{\pi }{3}$). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính.
* Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính.
* Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị. Cộng vế theo vế các đẳng thức thu được. Suy ra giá trị của tổng cần tìm.
Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có những đặc điểm gì để lựa chọn một trong các cách trên. Chủ yếu là căn cứ vào hệ số của các $C_n^k$ trong tổng. Để nói chi tiết được điều này đòi hỏi phải có lượng lớn những nhận xét, sẽ vượt quá khuôn khổ cho phép của một đề tài sáng kiến kinh nghiệm. Tôi chỉ đưa ra một số ví dụ minh hoạ cho
từng dạng, qua đó người đọc sẽ tự trả lời được câu hỏi: Để tính tổng này ta phải làm gì?

II- MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ:

Dạng 1: Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các số phức
Ví dụ 1:
Tính tổng A = $C_{2009}^0 - C_{2009}^2 + C_{2009}^4 - C_{2009}^6 + ... + C_{2009}^{2004} - C_{2009}^{2006} + C_{2009}^{2008}$
            B = $ - C_{2009}^1 + C_{2009}^3 - C_{2009}^5 + C_{2009}^7 - ... - C_{2009}^{2005} + C_{2009}^{2007} - C_{2009}^{2009}$

Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)2009 = ${\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{0}} + {\rm{xC}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{1}} + {{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{2}} + ... + {{\rm{x}}^{{\rm{2008}}}}{\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{{\rm{2008}}} + {{\rm{x}}^{{\rm{2009}}}}{\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{{\rm{2009}}}$
Cho x = - i ta có:
(1 – i )2009 = ${\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{0}} + {\rm{iC}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{1}} + {{\rm{i}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{2}} + ... + {{\rm{i}}^{{\rm{2008}}}}{\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{{\rm{2008}}} + {{\rm{i}}^{{\rm{2009}}}}{\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{{\rm{2009}}}$
= (${\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{0}} - {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{2}} + {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{4}} - {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{6}} + ... + {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{{\rm{2004}}} - {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{{\rm{2006}}} + {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{{\rm{2008}}}$) +
+ ($ - {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{1}} + {\rm{ C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{3}} - C_{2009}^{\rm{5}} + {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{7}} - ... - {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{{\rm{2005}}} + {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{{\rm{2007}}} - C_{2009}^{2009}$)i
Mặt khác:
${(1  - \,\,i)^{2009}} = {(\sqrt 2 )^{2009}}{\left( {cos\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + isin\left( { - \frac{\pi }{4}} \right)} \right)^{2009}} = {(\sqrt 2 )^{2009}}\left( {cos\frac{{2009\pi }}{4} - isin\frac{{2009\pi }}{4}} \right) = $
= ${(\sqrt 2 )^{2009}}\left( {cos\frac{\pi }{4} - isin\frac{\pi }{4}} \right) = {(\sqrt 2 )^{2009}}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = {2^{1004}} - {2^{1004}}i$
So sánh phần thực và phần ảo của (1 – i )2009 trong hai cách tính trên ta được:
A = ${\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{0}} - {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{2}} + {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{4}} - {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{6}} + ... + {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{{\rm{2004}}} - {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{{\rm{2006}}} + {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{{\rm{2008}}}$  = 21004
B = $ - {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{1}} + {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{3}} - {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{5}} + {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{\rm{7}} - ... - {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{{\rm{2005}}} + {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{{\rm{2007}}} - {\rm{C}}_{{\rm{2009}}}^{{\rm{2009}}}$ = - 21004
Ví dụ 2:
Tính tổng: C = $\frac{1}{{{2^{50}}}}\left( {C_{50}^0 - 3C_{50}^2 + {3^2}C_{50}^4 - ... - {3^{23}}C_{50}^{46} + {3^{24}}C_{50}^{48} - {3^{25}}C_{50}^{50}} \right)$
Giải:
Xét khai triển:
${\left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^{50}} = \frac{1}{{{2^{50}}}}\left( {C_{50}^0 - (i\sqrt 3 )C_{50}^1 + {{(i\sqrt 3 )}^2}C_{50}^2 + ... - {{(i\sqrt 3 )}^{49}}C_{50}^{49} + {{(i\sqrt 3 )}^{50}}C_{50}^{50}} \right) = $$ = \frac{1}{{{2^{50}}}}\left( {C_{50}^0 - {{(\sqrt 3 )}^2}C_{50}^2 + {{(\sqrt 3 )}^4}C_{50}^4 - ... - {{(\sqrt 3 )}^{46}}C_{50}^{46} + {{(\sqrt 3 )}^{48}}C_{50}^{48} - {{(\sqrt 3 )}^{50}}C_{50}^{50}} \right) + $

+ $\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{{\rm{50}}}}}}\left( { - \sqrt {\rm{3}} {\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{\rm{1}} + {{{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{\rm{3}} - {{{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}}^{\rm{5}}}{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{\rm{5}} + ... + {{{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}}^{{\rm{47}}}}{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{{\rm{47}}} - {{{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}}^{{\rm{49}}}}{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{{\rm{49}}}} \right){\rm{i}}$
Mặt khác: ${\left( { - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} + \frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}{\rm{i}}} \right)^{{\rm{50}}}} = {\left( {{\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}} \right) + {\rm{isin}}\left( {\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}} \right)} \right)^{{\rm{50}}}} = {\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{100\pi }}}}{{\rm{3}}}} \right) + {\rm{isin}}\left( {\frac{{{\rm{100\pi }}}}{{\rm{3}}}} \right) =  - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} - {\rm{i}}\frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}$
So sánh phần thực của ${\left( { - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} + \frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}{\rm{i}}} \right)^{{\rm{50}}}}$trong hai cách tính trên ta được:
C = $\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{{\rm{50}}}}}}\left( {{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{\rm{0}} - {\rm{3C}}_{{\rm{50}}}^{\rm{2}} + {{\rm{3}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{\rm{4}} - ... - {{\rm{3}}^{{\rm{23}}}}{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{{\rm{46}}} + {{\rm{3}}^{{\rm{24}}}}{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{{\rm{48}}} - {{\rm{3}}^{{\rm{25}}}}{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{{\rm{50}}}} \right) =  - \frac{1}{2}$
Ví dụ 3:
Tính tổng: D = ${3^{10}}C_{20}^0 - {3^9}C_{20}^2 + {3^8}C_{20}^4 - {3^7}C_{20}^6 + ... + {3^2}C_{20}^{16} - 3C_{20}^{18} + C_{20}^{20}$
Giải:
Xét khai triển:
${\left( {\sqrt {\rm{3}}  + {\rm{i}}} \right)^{{\rm{20}}}} = {{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}^{{\rm{20}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} + {\rm{i(}}\sqrt {\rm{3}} {{\rm{)}}^{{\rm{19}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} - {{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}^{{\rm{18}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} - ... - {{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} - {\rm{i}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$ =
= (${{\rm{3}}^{{\rm{10}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} - {{\rm{3}}^{\rm{9}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {{\rm{3}}^{\rm{8}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{4}} - {{\rm{3}}^{\rm{7}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{6}} + ... + {{\rm{3}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{16}}} - {\rm{3C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$) +
+ $\left( {{{{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}}^{{\rm{19}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} - {{{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}}^{{\rm{17}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + ... + {{{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{17}}} - \sqrt {\rm{3}} {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}}} \right)i$
Mặt khác:
${\left( {\sqrt {\rm{3}}  + {\rm{i}}} \right)^{{\rm{20}}}} = {{\rm{2}}^{{\rm{20}}}}{\left( {\frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}} + {\rm{i}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}} \right)^{{\rm{20}}}} = {{\rm{2}}^{{\rm{20}}}}{\left( {{\rm{cos}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}} + {\rm{isin}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}} \right)^{{\rm{20}}}} = {{\rm{2}}^{{\rm{20}}}}\left( {{\rm{cos}}\frac{{{\rm{20\pi }}}}{{\rm{6}}} + {\rm{isin}}\frac{{{\rm{20\pi }}}}{{\rm{6}}}} \right) = $$ = {{\rm{2}}^{{\rm{20}}}}\left( {{\rm{cos}}\frac{{{\rm{4\pi }}}}{{\rm{3}}} + {\rm{isin}}\frac{{{\rm{4\pi }}}}{{\rm{3}}}} \right) = {{\rm{2}}^{{\rm{20}}}}\left( { - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} - \frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}{\rm{i}}} \right) =  - {{\rm{2}}^{{\rm{19}}}} - {{\rm{2}}^{{\rm{19}}}}\sqrt {\rm{3}} \,{\rm{i}}$
So sánh phần thực của ${\left( {\sqrt {\rm{3}}  + {\rm{i}}} \right)^{{\rm{20}}}}$ trong hai cách tính trên ta có:
D = ${{\rm{3}}^{{\rm{10}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} - {{\rm{3}}^{\rm{9}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {{\rm{3}}^{\rm{8}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{4}} - {{\rm{3}}^{\rm{7}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{6}} + ... + {{\rm{3}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{16}}} - {\rm{3C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$ = - 219

Dạng 2: Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp
Ví dụ 1:
Tính tổng:     D = $C_{30}^1 - 3C_{30}^3 + 5C_{30}^5 - 7C_{30}^7 + ... + 25C_{30}^{25} - 27C_{30}^{27} + 29C_{30}^{29}$
E = $2C_{30}^2 - 4C_{30}^4 + 6C_{30}^6 - 8C_{30}^8 + ... + 26C_{30}^{26} - 28C_{30}^{28} + 30C_{30}^{30}$
Giải:
(1 + x)30 = ${\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{0}} + {\rm{xC}}_{{\rm{30}}}^{\rm{1}} + {{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{2}} + {{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{3}} + ... + {{\rm{x}}^{{\rm{28}}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{28}}} + {{\rm{x}}^{{\rm{29}}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{29}}} + {{\rm{x}}^{{\rm{30}}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{30}}}$
Đạo hàm hai vế ta có:
30(1 + x)29 = ${\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{1}} + 2{\rm{xC}}_{{\rm{30}}}^{\rm{2}} + 3{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{3}} + ... + 28{{\rm{x}}^{{\rm{27}}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{28}}} + 29{{\rm{x}}^{{\rm{28}}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{29}}} + 30{{\rm{x}}^{{\rm{29}}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{30}}}$
Cho x = i ta có:
30(1 + i)29 = (${\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{1}} - {\rm{3C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{3}} + {\rm{5C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{5}} - {\rm{7C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{7}} + ... + {\rm{25C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{25}}} - {\rm{27C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{27}}} + {\rm{29C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{29}}}$) +
       + (${\rm{2C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{2}} - {\rm{4C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{4}} + {\rm{6C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{6}} - {\rm{8C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{8}} + ... + {\rm{26C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{26}}} - {\rm{28C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{28}}} + {\rm{30C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{30}}}$)i
Mặt khác:
30(1 + i)29 = ${\rm{30}}{\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^{{\rm{29}}}}{\left( {{\rm{cos}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}} + {\rm{isin}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}} \right)^{{\rm{29}}}} = {\rm{30}}{\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^{{\rm{29}}}}\left( {{\rm{cos}}\frac{{{\rm{29\pi }}}}{{\rm{4}}} + {\rm{isin}}\frac{{{\rm{29\pi }}}}{{\rm{4}}}} \right) = $
        $ = {\rm{30}}{\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^{{\rm{29}}}}\left( { - \frac{{\sqrt {\rm{2}} }}{{\rm{2}}} - \frac{{\sqrt {\rm{2}} }}{{\rm{2}}}{\rm{i}}} \right) =  - {\rm{15}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{{\rm{15}}}} - {\rm{15}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{{\rm{15}}}}{\rm{i}}$
So sánh phần thực và ảo của 30(1 + i)29 trong hai cách tính trên ta có:
D = ${\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{1}} - {\rm{3C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{3}} + {\rm{5C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{5}} - {\rm{7C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{7}} + ... + {\rm{25C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{25}}} - {\rm{27C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{27}}} + {\rm{29C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{29}}}$ = - 15.215
E = ${\rm{2C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{2}} - {\rm{4C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{4}} + {\rm{6C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{6}} - {\rm{8C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{8}} + ... + {\rm{26C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{26}}} - {\rm{28C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{28}}} + {\rm{30C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{30}}}$ = - 15.215
Ví dụ 2:
Tính tổng S = $2.3C_{20}^2 - 4.{3^2}C_{20}^4 + 6.{3^3}C_{20}^6 - ... + 18.{3^9}C_{20}^{18} - 20.{3^{10}}C_{20}^{20}$

Giải:
Xét khai triển:
(1 + $\sqrt 3 $x)20 =
= ${\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} + (\sqrt 3 {\rm{x)C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + {(\sqrt 3 {\rm{x)}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {(\sqrt 3 {\rm{x)}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + ... + {(\sqrt 3 {\rm{x)}}^{{\rm{19}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + {(\sqrt 3 {\rm{x)}}^{{\rm{20}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$
Đạo hàm hai vế ta có:
20$\sqrt {\rm{3}} {{\rm{(1}} + \sqrt {\rm{3}} {\rm{x)}}^{{\rm{19}}}}$ =
= $\sqrt 3 {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + 2.3{\rm{xC}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + 3.{(\sqrt 3 {\rm{)}}^{\rm{3}}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + ... + 19.{(\sqrt 3 {\rm{)}}^{{\rm{19}}}}{{\rm{x}}^{{\rm{18}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + {20.3^{10}}{{\rm{x}}^{{\rm{19}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$
Cho x = i ta có: 20$\sqrt {\rm{3}} {{\rm{(1}} + \sqrt {\rm{3}} {\rm{i)}}^{{\rm{19}}}}$=
= $\left( {\sqrt {\rm{3}} {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} - {\rm{3}}{\rm{.}}{{\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + {\rm{5}}{\rm{.}}{{\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)}^{\rm{5}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{5}} - ... + {\rm{17}}{\rm{.}}{{\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)}^{{\rm{17}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{17}}} - {\rm{19}}{\rm{.}}{{\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)}^{{\rm{19}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}}} \right) + $
$ + \left( {{\rm{2}}{\rm{.3C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} - {\rm{4}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{4}} + {\rm{6}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{6}} - ... + {\rm{18}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{9}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} - {\rm{20}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{10}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}} \right){\rm{i}}$.
Mặt khác: 20$\sqrt {\rm{3}} {{\rm{(1}} + \sqrt {\rm{3}} {\rm{i)}}^{{\rm{19}}}}$= ${\rm{20}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{.}}{{\rm{2}}^{{\rm{19}}}}{\left( {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} + \frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}{\rm{i}}} \right)^{{\rm{19}}}} = {\rm{20}}{\rm{.}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{.}}{{\rm{2}}^{{\rm{19}}}}{\left( {{\rm{cos}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}} + {\rm{isin}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right)^{{\rm{19}}}} = $
$ = {\rm{20}}{\rm{.}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{.}}{{\rm{2}}^{{\rm{19}}}}\left( {{\rm{cos}}\frac{{{\rm{19\pi }}}}{{\rm{3}}} + {\rm{isin}}\frac{{{\rm{19\pi }}}}{{\rm{3}}}} \right) = {\rm{20}}{\rm{.}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{.}}{{\rm{2}}^{{\rm{19}}}}\left( {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} + \frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}{\rm{i}}} \right) = {\rm{10}}{\rm{.}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{.}}{{\rm{2}}^{{\rm{19}}}} + {\rm{30}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{{\rm{19}}}}{\rm{i}}$
So sánh phần ảo của 20$\sqrt {\rm{3}} {{\rm{(1}} + \sqrt {\rm{3}} {\rm{i)}}^{{\rm{19}}}}$trong hai cách tính trên ta có:
S = ${\rm{2}}{\rm{.3C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} - {\rm{4}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{4}} + {\rm{6}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{6}} - ... + {\rm{18}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{9}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} - {\rm{20}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{10}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$ = 30.219

Ví dụ 3:
Tính các tổng sau: M = $C_{15}^0 - 3C_{15}^2 + 5C_{15}^4 - 7C_{15}^6 + ... + 13C_{15}^{12} - 15C_{15}^{14}$
  N = $2C_{15}^1 - 4C_{15}^3 + 6C_{15}^5 - 8C_{15}^7 + ... + 14C_{15}^{13} - 16C_{15}^{15}$
Giải:
Xét khai triển:

(1 + x)15 = ${\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{0}} + {\rm{xC}}_{{\rm{15}}}^{\rm{1}} + {{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{2}} + {{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{3}} + ... + {{\rm{x}}^{{\rm{13}}}}{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{13}}} + {{\rm{x}}^{{\rm{14}}}}{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{14}}} + {{\rm{x}}^{{\rm{15}}}}{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{15}}}$
Nhân hai vế với x ta có:
x(1 + x)15 = ${\rm{xC}}_{{\rm{15}}}^{\rm{0}} + {{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{1}} + {{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{2}} + {{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{3}} + ... + {{\rm{x}}^{{\rm{14}}}}{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{13}}} + {{\rm{x}}^{{\rm{15}}}}{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{14}}} + {{\rm{x}}^{{\rm{16}}}}{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{15}}}$
Đạo hàm hai vế ta có:
(1 + x)15 + 15x(1 + x)14 =
$ = {\rm{  C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{0}} + 2{\rm{xC}}_{{\rm{15}}}^{\rm{1}} + 3{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{2}} + 4{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{3}} + ... + 14{{\rm{x}}^{{\rm{13}}}}{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{13}}} + 15{{\rm{x}}^{{\rm{14}}}}{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{14}}} + 16{{\rm{x}}^{{\rm{15}}}}{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{15}}}$
Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =
= $\left( {{\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{0}} - {\rm{3C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{2}} + {\rm{5C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{4}} - {\rm{7C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{6}} + ... + {\rm{13C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{12}}} - {\rm{15C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{14}}}} \right)$+
+ $\left( {{\rm{2C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{1}} - {\rm{4C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{3}} + {\rm{6C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{5}} - {\rm{8C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{7}} + ... + {\rm{14C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{13}}} - {\rm{16C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{15}}}} \right)$i
Mặt khác:
(1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = ${\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^{{\rm{15}}}}{\left( {{\rm{cos}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}} + {\rm{isin}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}} \right)^{{\rm{15}}}} + {\rm{15i}}{\rm{.}}{\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^{{\rm{14}}}}{\left( {{\rm{cos}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}} + {\rm{isin}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}} \right)^{{\rm{14}}}} = $
$ = {\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^{{\rm{15}}}}\left( {{\rm{cos}}\frac{{{\rm{15\pi }}}}{{\rm{4}}} + {\rm{isin}}\frac{{{\rm{15\pi }}}}{{\rm{4}}}} \right) + {\rm{15}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{\rm{7}}}{\rm{i}}\left( {{\rm{cos}}\frac{{{\rm{14\pi }}}}{{\rm{4}}} + {\rm{isin}}\frac{{{\rm{14\pi }}}}{{\rm{4}}}} \right) = {\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^{{\rm{15}}}}\left( { - \frac{{\sqrt {\rm{2}} }}{{\rm{2}}} - \frac{{\sqrt {\rm{2}} }}{{\rm{2}}}{\rm{i}}} \right) + {\rm{15}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{\rm{7}}} = $
$ =  - {{\rm{2}}^{\rm{7}}} - {{\rm{2}}^{\rm{7}}}{\rm{i}} + {\rm{15}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{\rm{7}}} = {\rm{14}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{\rm{7}}} - {{\rm{2}}^{\rm{7}}}{\rm{i}} = {\rm{7}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{\rm{8}}} - {{\rm{2}}^{\rm{7}}}{\rm{i}}$
So sánh phần thực và ảo của (1 + i)15 + 15i(1 + i)14  trong hai cách tính trên ta có:
M = ${\rm{C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{0}} - {\rm{3C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{2}} + {\rm{5C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{4}} - {\rm{7C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{6}} + ... + {\rm{13C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{12}}} - {\rm{15C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{14}}}$ = 7.28
N = ${\rm{2C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{1}} - {\rm{4C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{3}} + {\rm{6C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{5}} - {\rm{8C}}_{{\rm{15}}}^{\rm{7}} + ... + {\rm{14C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{13}}} - {\rm{16C}}_{{\rm{15}}}^{{\rm{15}}}$ = -27

Dạng 3: Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị
Để tiện cho việc theo dõi sự biến đổi và các phép tính tôi đưa lại các vấn đề về căn bậc ba của đơn vị (đã trình bày trong phần I của đề tài):
Giải phương trình: x3 – 1 = 0
Ta được các nghiệm là x1 = 1; ${x_2} =  - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$;${x_3} =  - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$.
Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1.
Đăt: $\varepsilon  =  - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ $ \Rightarrow {{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}} =  - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} + \frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}{\rm{i}}$ và ${\rm{\varepsilon }}$ có các tính chất sau:
1)    ${\rm{\varepsilon }}$ + ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$ = -1
2)      ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{3}}} = 1$
3)      ${{\rm{\varepsilon }}^{{\rm{3k}}}} = 1$
4)     ${{\rm{\varepsilon }}^{{\rm{3k}} + {\rm{1}}}} = {\rm{\varepsilon }}$
5)    ${{\rm{\varepsilon }}^{{\rm{3k}} + {\rm{2}}}} = {{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$
    (k – nguyên).
Sử dụng các tính chất trên của ${\rm{\varepsilon }}$ ta có thể tính được các tổng sau:
Ví dụ 1:
    Tính tổng: S = $C_{20}^0 + C_{20}^3 + C_{20}^6 + ... + C_{20}^{3k} + ... + C_{20}^{15} + C_{20}^{18}$
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)20 = ${\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} + {\rm{xC}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + {{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + ... + {{\rm{x}}^{{\rm{18}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + {{\rm{x}}^{{\rm{19}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + {{\rm{x}}^{{\rm{20}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$
Cho x = 1 ta có:
220 = ${\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + ... + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$           (1)
Cho x = ${\rm{\varepsilon }}$ ta có:
(1 + ${\rm{\varepsilon }}$)20 = ${\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} + {\rm{\varepsilon C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + {{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + ... + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + {\rm{\varepsilon C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + {{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$         (2)
Cho x = ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$ ta có:
(1 + ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$)20 = ${\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} + {{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + {\rm{\varepsilon C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + ... + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + {{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + {\rm{\varepsilon C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$        (3)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:

220 + (1 + ${\rm{\varepsilon }}$)20 +(1 + ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$)20  = 3S.
Mặt khác: ${{\rm{(1}} + {\rm{\varepsilon )}}^{{\rm{20}}}} = {{\rm{(}} - {{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{\rm{)}}^{{\rm{20}}}} = {{\rm{\varepsilon }}^{{\rm{40}}}} = {\rm{\varepsilon }}$; ${{\rm{(1}} + {{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{\rm{)}}^{{\rm{20}}}} = {{\rm{(}} - {\rm{\varepsilon )}}^{{\rm{20}}}} = {{\rm{\varepsilon }}^{{\rm{20}}}} = {{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$
Do vậy: 3S = 220 – 1. Hay S = $\frac{{{{\rm{2}}^{{\rm{20}}}} - {\rm{1}}}}{{\rm{3}}}$
Ví dụ 2:
Tính tổng  T = $C_{20}^1 + C_{20}^4 + C_{20}^7 + ... + C_{20}^{3k + 1} + ... + C_{20}^{16} + C_{20}^{19}$
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)20 = ${\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} + {\rm{xC}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + {{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + ... + {{\rm{x}}^{{\rm{18}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + {{\rm{x}}^{{\rm{19}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + {{\rm{x}}^{{\rm{20}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$
Nhân hai vế với x2 ta có:
x2(1 + x)20 = ${{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} + {{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + {{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {{\rm{x}}^{\rm{5}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + ... + {{\rm{x}}^{{\rm{20}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + {{\rm{x}}^{{\rm{21}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + {{\rm{x}}^{{\rm{22}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$
Cho x = 1 ta có:
220 = ${\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + ... + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$           (1)
Cho x = ${\rm{\varepsilon }}$ ta có:
${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$(1 + ${\rm{\varepsilon }}$)20 = ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$${\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + {\rm{\varepsilon C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{4}}... + {{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + {\rm{\varepsilon C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$     (2)
Cho x = ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$ ta có:
${\rm{\varepsilon }}$(1 + ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$)20 = ${\rm{\varepsilon }}$${\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + {{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {\rm{\varepsilon C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + ... + {\rm{\varepsilon C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + {{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$        (3)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta có:
220 + ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$(1 + ${\rm{\varepsilon }}$)20 +${\rm{\varepsilon }}$(1 + ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$)20 = 3T
Mặt khác: ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$(1 + ${\rm{\varepsilon }}$)20 = ${{\rm{\varepsilon }}^{{\rm{42}}}} = 1$; ${\rm{\varepsilon }}$(1 + ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$)20 = ${{\rm{\varepsilon }}^{{\rm{21}}}} = 1$
Do vậy: 3T = 220 + 2. Hay: T = $\frac{{{{\rm{2}}^{{\rm{20}}}} + {\rm{2}}}}{{\rm{3}}}$

 

Ví dụ 3:
    Tính tổng: P = $C_{20}^0 + 3C_{20}^3 + 6C_{20}^6 + ... + 3kC_{20}^{3k} + ... + 15C_{20}^{15} + 18C_{20}^{18}$
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)20 = ${\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} + {\rm{xC}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + {{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + ... + {{\rm{x}}^{{\rm{18}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + {{\rm{x}}^{{\rm{19}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + {{\rm{x}}^{{\rm{20}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$
Đạo hàm hai vế ta có:
20(1 + x)19 = ${\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + 2{\rm{xC}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + 3{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + ... + 18{{\rm{x}}^{{\rm{17}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + 19{{\rm{x}}^{{\rm{18}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + 20{{\rm{x}}^{{\rm{19}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$ (*)
Nhân hai vế (*) với x ta có:
20x(1 + x)19 = ${\rm{xC}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + 2{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + 3{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + ... + 18{{\rm{x}}^{{\rm{18}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + 19{{\rm{x}}^{{\rm{19}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + 20{{\rm{x}}^{{\rm{20}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$
Cho x = 1 ta được:
20.219 = ${\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + 2{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + 3{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + 4{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{4}} + ... + 18{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + 19{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + 20{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$              (1)
Cho x = ${\rm{\varepsilon }}$ ta có:
20${\rm{\varepsilon }}$(1 + ${\rm{\varepsilon }}$)19 = ${\rm{\varepsilon C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + 2{{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {\rm{3C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + 4{\rm{\varepsilon C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{4}}... + {\rm{1}}8{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + 19{\rm{\varepsilon C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + 20{{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$     (2)
Cho x = ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$ ta có:
20${\rm{\varepsilon }}$2(1 + ${\rm{\varepsilon }}$2)19 = ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} + 2{\rm{\varepsilon C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {\rm{3C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + 4{{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{4}}... + {\rm{1}}8{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + 19{{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + 20{\rm{\varepsilon C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$ (3)
Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có:
20[219 + ${\rm{\varepsilon }}$(1 + ${\rm{\varepsilon }}$)19 + ${\rm{\varepsilon }}$2(1 + ${\rm{\varepsilon }}$2)19 ] =  3P - ${\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}}$
Mặt khác: ${\rm{\varepsilon }}$(1 + ${\rm{\varepsilon }}$)19 = ${\rm{\varepsilon (}} - {{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{{\rm{)}}^{{\rm{19}}}} =  - {{\rm{\varepsilon }}^{{\rm{39}}}} =  - {\rm{1}}$
           ${\rm{\varepsilon }}$2(1 +${\rm{\varepsilon }}$2)19 = ${{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}{{\rm{(}} - {\rm{\varepsilon )}}^{{\rm{19}}}} =  - {{\rm{\varepsilon }}^{{\rm{21}}}} =  - {\rm{1}}$
Vậy 3P = 1 + 20(219 – 2) = 10.220 – 39 . Suy ra P = $\frac{{{\rm{10}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{{\rm{20}}}}}}{{\rm{3}}} - {\rm{13}}$

 

III- MỘT SỐ BÀI TẬP:
1- Tính các tổng sau:
${{\rm{A}}_{\rm{1}}} = \sqrt {\rm{3}} {\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{1}} - {\rm{3}}{\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{3}} + {\rm{5}}{\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)^{\rm{5}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{5}} - ... - {\rm{27}}{\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)^{{\rm{27}}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{27}}} + {\rm{29}}{\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)^{{\rm{29}}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{29}}}$
${{\rm{A}}_{\rm{2}}} = {\rm{2}}{\rm{.3C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{2}} - {\rm{4}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{4}} + {\rm{6}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{\rm{6}} - ... - {\rm{28}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{14}}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{28}}} + {\rm{30}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{15}}}}{\rm{C}}_{{\rm{30}}}^{{\rm{30}}}$
Hướng dẫn: Xét khai triển: ${\left( {{\rm{1}} + \sqrt {\rm{3}} {\rm{x}}} \right)^{{\rm{30}}}}$. Đạo hàm hai vế, cho x = i và so sánh phần thực, phần ảo của hai số phức.
ĐS: A1 = ${\rm{15}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{.}}{{\rm{2}}^{{\rm{29}}}}$; A2 = - 45.229
2- Tính các tổng sau:
${{\rm{B}}_{\rm{1}}} = {\rm{C}}_{{\rm{25}}}^{\rm{0}} + {\rm{2C}}_{{\rm{25}}}^{\rm{2}} - {\rm{3}}{\rm{.4C}}_{{\rm{25}}}^{\rm{4}} + {\rm{5}}{\rm{.6C}}_{{\rm{25}}}^{\rm{6}} - {\rm{7}}{\rm{.8C}}_{{\rm{25}}}^{\rm{8}} + ... + {\rm{21}}{\rm{.22C}}_{{\rm{25}}}^{{\rm{22}}} - {\rm{23}}{\rm{.24C}}_{{\rm{25}}}^{{\rm{24}}}$
${{\rm{B}}_{\rm{2}}} = {\rm{C}}_{{\rm{25}}}^{\rm{1}} + {\rm{2}}{\rm{.3C}}_{{\rm{25}}}^{\rm{3}} - {\rm{4}}{\rm{.5C}}_{{\rm{25}}}^{\rm{5}} + {\rm{6}}{\rm{.7C}}_{{\rm{25}}}^{\rm{7}} - {\rm{8}}{\rm{.9C}}_{{\rm{25}}}^{\rm{9}} + ... + {\rm{22}}{\rm{.23C}}_{{\rm{25}}}^{{\rm{23}}} - {\rm{24}}{\rm{.25C}}_{{\rm{25}}}^{{\rm{25}}}$
Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25. Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i. So sánh phần thực và phần ảo của hai số phức bằng nhau.
ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214)
3- Tính các tổng sau:
${{\rm{C}}_{\rm{1}}} = {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} - {\rm{3C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {\rm{5C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{4}} - {\rm{7C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{6}} + ... + {\rm{17C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{16}}} - {\rm{19C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + {\rm{21C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}$
${{\rm{C}}_{\rm{2}}} = 2{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} - {\rm{4C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + {\rm{6C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{5}} - {\rm{8C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{7}} + ... - {\rm{16C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{15}}} + {\rm{18C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{17}}} - {\rm{20C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}}$
Hướng dẫn: Xét khai triển: ( 1 + x)20. Nhân hai vế với x. Đạo hàm hai vế. Cho x = i.
ĐS: C1 = - 11.210; C2 = - 10.210
4- Tính các tổng sau:
${{\rm{D}}_{\rm{1}}} = {{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{100}}}^{\rm{1}} - {{\rm{3}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{100}}}^{\rm{3}} + {{\rm{5}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{100}}}^{\rm{5}} - {{\rm{7}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{100}}}^{\rm{7}} + ... + {\rm{9}}{{\rm{5}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{100}}}^{{\rm{95}}} - {\rm{9}}{{\rm{7}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{100}}}^{{\rm{97}}} + {\rm{9}}{{\rm{9}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{100}}}^{{\rm{99}}}$
${{\rm{D}}_{\rm{2}}} = {{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{100}}}^{\rm{2}} - {{\rm{4}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{100}}}^{\rm{4}} + {{\rm{6}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{100}}}^{\rm{6}} - {{\rm{8}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{100}}}^{\rm{8}} + ... + {\rm{9}}{{\rm{6}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{100}}}^{{\rm{96}}} - {\rm{9}}{{\rm{8}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{100}}}^{{\rm{98}}} + {\rm{10}}{{\rm{0}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{100}}}^{{\rm{100}}}$
Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100. Đạo hàm hai vế. Nhân hai vế với x. Lại đạo hàm hai vế. Cho x = i.         ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250.

5- Tính tổng sau:
E = ${\rm{2C}}_{{\rm{25}}}^{\rm{2}} + {\rm{5C}}_{{\rm{25}}}^{\rm{5}} + {\rm{8C}}_{{\rm{25}}}^{\rm{8}} + ... + {\rm{20C}}_{{\rm{25}}}^{{\rm{20}}} + {\rm{23C}}_{{\rm{25}}}^{{\rm{23}}}$
Hướng dẫn: Xét khai triển của (1 + x)25. Đạo hàm hai vế. Sau đó nhân hai vế với x2. Cho x lần lượt bằng 1, ${\rm{\varepsilon ,}}\,\,{{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$(ba căn bậc ba của 1) cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được ta tìm được E.
ĐS: E = $\frac{{{\rm{25(}}{{\rm{2}}^{{\rm{24}}}} - {\rm{1)}}}}{{\rm{3}}}$
6 – Tính các tổng sau:
${{\rm{F}}_{\rm{1}}} = {\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{1}} + {{\rm{4}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{4}} + {{\rm{7}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{7}} + {\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{10}}} + ... + {\rm{3}}{{\rm{7}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{37}}} + {\rm{4}}{{\rm{0}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{40}}}$
${{\rm{F}}_{\rm{2}}} = {2^2}{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{2}} + {{\rm{5}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{5}} + {{\rm{8}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{8}} + {\rm{1}}{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{11}}} + ... + {\rm{3}}{{\rm{5}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{35}}} + {\rm{3}}{{\rm{8}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{38}}}$
${{\rm{F}}_{\rm{3}}} = {\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{0}} + {{\rm{3}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{3}} + {{\rm{6}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{6}} + {{\rm{9}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{9}} + ... + {\rm{3}}{{\rm{6}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{36}}} + {\rm{3}}{{\rm{9}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{39}}}$
Hướng dẫn: Xét khai triển của ( 1+ x)40. Đạo hàm hai vế. Nhân hai vế với x. Lại đạo hàm hai vế.
Để có F1 ta cho x lần lượt là 1, ${\rm{\varepsilon ,}}\,\,{{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$(ba căn bậc ba của 1). Cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được.
Làm thế nào để có F2, F3 mong độc giả cùng tìm tòi một chút !
ĐS:     ${{\rm{F}}_{\rm{1}}} = \frac{{{\rm{40}}{\rm{.41(}}{{\rm{2}}^{{\rm{38}}}} - {\rm{1)}}}}{{\rm{3}}}$
${{\rm{F}}_{\rm{2}}} = \frac{{{\rm{40(}}{{\rm{2}}^{{\rm{39}}}} + {\rm{1)}} + {\rm{39}}{\rm{.40(}}{{\rm{2}}^{{\rm{38}}}} - {\rm{1)}}}}{{\rm{3}}}$
${{\rm{F}}_{\rm{3}}} = \frac{{{\rm{40(}}{{\rm{2}}^{{\rm{39}}}} + {\rm{1)}} + {\rm{39}}{\rm{.40(}}{{\rm{2}}^{{\rm{38}}}} + {\rm{2)}} - {\rm{1}}}}{{\rm{3}}}$

 

 

7- Tính các tổng sau:
${{\rm{G}}_{\rm{1}}} = {\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{0}} + {\rm{4C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{3}} + {\rm{7C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{6}} + {\rm{10C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{9}} + ... + {\rm{34C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{33}}} + {\rm{37C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{36}}} + {\rm{40C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{39}}}$
${{\rm{G}}_{\rm{2}}} = 2{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{1}} + {\rm{5C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{4}} + {\rm{8C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{7}} + {\rm{11C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{10}}} + ... + {\rm{35C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{34}}} + {\rm{38C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{37}}} + {\rm{41C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{40}}}$
${{\rm{G}}_{\rm{3}}} = 3{\rm{C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{2}} + {\rm{6C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{5}} + {\rm{9C}}_{{\rm{40}}}^{\rm{8}} + {\rm{12C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{11}}} + ... + {\rm{36C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{35}}} + {\rm{39C}}_{{\rm{40}}}^{{\rm{38}}}$
Hướng dẫn: Khai triển (1 + x)40. Nhân hai vế với x. Đạo hàm hai vế.
Để có G1 ta cho x lần lượt là 1, ${\rm{\varepsilon ,}}\,\,{{\rm{\varepsilon }}^{\rm{2}}}$(ba căn bậc ba của 1). Cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được.
Làm thế nào để có G2, G3 mong độc giả cùng tìm tòi một chút !
ĐS: G1 = 7.240 + 13; G2 = 7.240 – 27; G3 = 7.240 + 28.

 

Lê Hồng Thái
PHT trường THPT Nguyễn Thái Học