III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
1. Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 Giải phương trình
x^2 + \sqrt{x + \dfrac{3}{2} } = \dfrac{9}{4},\,\,(1)
Lời giải
ĐK : x \geq - \dfrac{3}{2} .
Đặt \sqrt{x + \dfrac{3}{2} } = t , t \geq 0 phương trình (1) trở thành :
$$(t^2 - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9}{4} – t \Leftrightarrow t(t^3 - 3t + 1) = 0 \Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{l} t = 0 \\ t^3 - 3t + 1 = 0,\,\, (2) \\ \end{array} \right.$$
(2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặt x = 2cost , t \in (0 ; \pi) để đưa về dạng : cos3t = - \dfrac{1}{2}
Tổng quát: Giải phương trình
x^2 + \sqrt{x + a} = a^2
Với a là hắng số cho trước .
Ví dụ 16: Giải phương trình:
x^3 - 3x^2 + 2\sqrt{(x + 2)^3} =6x,\,\, (1)
Lời giải:
ĐK : x \geq - 2
Viết lại (1) dưới dạng :
x^3 - 3x(x + 2) + 2 \sqrt{(x + 2)^3} = 0,\,\,(2)
Đặt t = \sqrt{x + 2} \geq 0 . Khi đó (2) trở thành :
x^3 - 3xt^2 + 2y^3 \Leftrightarrow (x - t)^2(x + 2t) = 0
Do vậy x = t hoặc x = -2t
*x = t . Ta có :
x = \sqrt{x + 2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ x^2 - x - 2 = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2
* x = -2t . Ta có :
x = - 2\sqrt{x + 2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \leq 0 \\ x^2 - 4x - 8 = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 - 2\sqrt{3}
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x = 2 , x = 2 - 2 \sqrt{3}
Ví dụ 17: Giải phương trình:
x + \sqrt{5 + \sqrt{x - 1} } = 0
Lời giải:
ĐK : x \in [1 ; 6],\,\,\ (1)
Đặt t = \sqrt{x - 1} , t \geq 0,\ \ \ (2) phương trình đã cho trở thành :
t^2 + \sqrt{5 + t} = 5 ,\ \ \ (3)
\Leftrightarrow t^4 - 10t^2 - t + 20 = 0 \Leftrightarrow (t^2 + t -4)(t^2 - t - 5) = 0
Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :
x = \dfrac{11 - \sqrt{17} }{2}
Ví dụ 18: Giải phương trình:
x = \left (2006 + \sqrt{x} \right )\left (1 - \sqrt{1 - \sqrt{x}} \right )
Lời giải:
ĐK : x \in [0 ; 1],\ \ \ \ (1)
Đặt t = \sqrt{1 - \sqrt{x} }\Rightarrow 0 \leq t \leq 1. Khi đó:
\sqrt{x} = 1 - t^2 , x = (1 - t^2)^2
phương trình đã cho trở thành :
(1 - t^2)^2 = (2006 + 1 - t^2)(1 - t)^2
\Leftrightarrow (1 - t)^2(1 + t)^2 = (2007 - t^2)(1 - t)^2 \Leftrightarrow 2(1 - t)^2(t^2 + t - 1003)
Vì 0 \leq t \leq 1 nên: t^2 + t - 1003 < 0
Do đó phương trình tương đương với :
t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1
Do vậy x = 0 (thỏa (1))
2. Dùng 2 ẩn phụ.
Ví dụ 9: Giải phương trình
\sqrt{4x^2 + 5x + 1} - 2\sqrt{x^2 - x + 1} = 9x - 3
Lời giải
Đặt a = \sqrt{4x^2 + 5x + 1} , b = 2\sqrt{x^2 - x + 1}
\Rightarrow a^2 - b^2 = 9x – 3 \Rightarrow a - b = a^2 - b^2 \Leftrightarrow (a - b)(a + b - 1) = 0
* a - b = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{3}
* a + b - 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - b = 9x - 3 \\ 2a = 9x - 2 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{{56}}{{65}} \\ \end{array} \right.
Ví dụ 20: Giải phương trình
2(x^2 - 3x + 2) = 3\sqrt{x^3 + 8},\ \ \ (1)
Lời giải:
ĐK : - 2 \leq x \leq 1 hoặc x \geq 2
Đặt u = \sqrt{x^2 - 2x + 4} , v = \sqrt{x + 2} ta có :
u^2 - v^2 = x^2 - 3x + 2 .
(1) trở thành :
2(u^2 - v^2) = 3uv \Leftrightarrow (2u + v)(u - 2v) = 0 \Leftrightarrow u = 2v
(Do 2u + v > 0)
Để tìm x, ta giải :
\sqrt{x^2 - 2x + 4} = 2 \sqrt{x + 2} \Leftrightarrow x^2 - 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt{13}
Kết hợp với điều kiện, phương trình (1) có 2 nghiệm : x = 3 \pm \sqrt{13}
Ví dụ 21: Giải phương trình
\sqrt{5x^2 - 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5\sqrt{x + 1}, \ \ (1)
Lời giải:
ĐK : x \geq 5
Chuyển vế rồi bình phương hai vế, ta được:
(x + 1)(5x + 9) = x^2 + 24x + 5 + 10\sqrt{(x + 4)(x - 5)(x + 1)}
\Leftrightarrow 2(x^2 - 4x - 5) + 3(x + 4) - 5\sqrt{(x^2 - 4x - 5)(x + 4)} = 0,\ \ \ (2)
Đặt u = \sqrt{(x^2 - 4x - 5)} và v = \sqrt{x + 4} , u,v \geq 0 . Thì:
(2)\Leftrightarrow 2u^2 + 3v^2 - 5uv = 0 \Leftrightarrow (u - v)(2u - 3v) = 0
* u = v ta có : x^2 - 5x - 9 = 0
* 2u = 3v ta có : 4x^2 - 25x - 56 = 0
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn: x = \dfrac{5 + \sqrt{61} }{2} , x = 8
Ví dụ 22: Giải phương trình
\sqrt{x} + \sqrt[4]{x(1 - x)^2} + \sqrt[4]{(1 - x)^3} = \sqrt{1 - x} + \sqrt[4]{x^3} + \sqrt[4]{x^2(1 - x)}
Lời giải:
ĐK : 0 \leq x \leq 1
Đặt: \left\{ \begin{array}{l} u = \sqrt[4]{x} \\ v = \sqrt[4]{{1 - x}} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} u \ge 0 \\ v \ge 0 \\ u^4 + v^4 = 1 \\ \end{array} \right.
Từ phương trình ta được :
u^2 + uv^2 + v^3 = v^2 + u^3 + u^2v
\Leftrightarrow (u - v)(u + v)(1 - u - v) = 0
\Leftrightarrow (u - v)(1 - u - v) = 0 ( Do u + v > 0)
từ đó ta giải ra được các nghiệm : x = 0 , x = \dfrac{1}{2} , x = 1
3. Dùng 3 ẩn phụ.
Ví dụ 23: Giải phương trình
\sqrt[3]{7x + 1} - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} + \sqrt[3]{x^2 - 8x + 1} = 2
Lời giải:
Đặt a = \sqrt[3]{7x + 1} , b = - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} , c = \sqrt[3]{x^2 - 8x + 1}, ta có:
a + b + c = 2
a^3 + b^3 +c^3 = (7x + 1) - (x^2 - x - 8) + (x^2 - 8x - 1) = 8,\ \ \ (1)
Mặt khác: (a + b +c)^3 = 8,\ \ \ (2)
Từ (1) và (2) ta có:
(a + b + c)^3 - (a^3 + b^3 +c^3) = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Nên:
(a + b)(b + c)(c + a) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - b \\ b = - c \\ c = - a \\ \end{array} \right.
Từ đó dễ dàng tìm ra 4 nghiệm của phương trình: S = {- 1 ; 0 ; 1 ; 9}
Ví dụ 24: Giải phương trình
\sqrt[3]{3x + 1} + \sqrt[3]{5 - x} + \sqrt[3]{2x - 9} - \sqrt[3]{4x - 3} = 0, \ \ \ (1)
Lời giải:
Đặt a = \sqrt[3]{3x + 1} ; b = \sqrt[3]{5 - x} ; c = \sqrt[3]{2x - 9} Suy ra:
a^3 + b^3 + c^3 = 4x - 3
khi đó từ (1) ta có:
(a + b + c)^3 = (a^3 + b^3 +c^3) \Leftrightarrow (a + b)(b + c)(c + a) = 0
Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương trình: x = -3 ; x = 4 ; x = \dfrac{8}{5}
Theo diendantoanhoc.net
0 nhận xét:
Đăng nhận xét
- Hãy dùng tiếng Việt có dấu để mọi người dễ đọc hơn!
- Các bạn hãy Mã hóa Code trước khi chèn vào nhận xét
- Chèn link bằng thẻ: <a href="URL liên kết" rel="nofollow">Tên link</a>
- Tạo chữ <b>đậm</b> và <i>Ngiêng</i>
- Hướng dẫn gõ công thức Toán trên blog bằng MathType
Thank you
Click to see the code!
To insert emoticon you must added at least one space before the code.