Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỉ (Phần 2)

II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để

* Nội dung phương pháp:
Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho:
Đưa phương trình về dạng sau:
$$ \sqrt{f(x)}.Q(x) = f(x) + P(x).x$$
khi đó:
Đặt $ \sqrt{f(x)} = t , t > 0 $. Phương trình viết thành:
$$ t^2 - t.Q(x) + P(x) = 0$$
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình $ \sqrt{f(x)} = t$ sau khi đã đơn giản hóa và kết luận:

Ví dụ 10: Giải phương trình:
$$ 2\sqrt{2x + 4} + 4\sqrt{2 - x} = \sqrt{9x^2 + 16},\,\,\ (1)$$
Lời giải:
ĐK: $ |x| \leq 2$
$(1) \Leftrightarrow 4(2x + 4) + 16\sqrt{2(4 - x^2)} + 16(2 - x) = 9x^2 + 16$
$\Leftrightarrow 8(4 - x^2) + 16\sqrt{2(4 - x^2)} = x^2 + 8x$
Đặt $ t = \sqrt{2(4 - x^2)}$. Lúc đó phương trình trở thành:
$$ 4t^2 + 16t - x^2 - 8x = 0$$
Giải phương trình trên với ẩn $t$, ta tìm được:
$$ t_1 = \dfrac{x}{2} ; t_2 = - \dfrac{x}{2} - 4$$
Do $ |x| \leq 2$ nên $ t_2 < 0$ không thỏa điều kiện $ t \geq 0$ .
Với $ t = \dfrac{x}{2}$ thì:
$$ \sqrt{2(4 - x^2)} = \dfrac{x}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ 8\left( {4 - x^2 } \right) = x^2 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{4\sqrt{2} }{3}$$ (thỏa mãn điều kiên $ |x| \leq 2$)

Ví dụ 11: Giải phương trình:
$$ x^2 + x + 12\sqrt{x + 1} = 36$$
Lời giải:
ĐK: $ x \geq - 1$
Đặt $ t = \sqrt{x + 1} \geq 0$, phương trình đã cho trở thành:
$$ x.t^2 + 12u - 36 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{-6 \pm 6t }{x}$$
* Với $ t = \dfrac{-6 - 6t }{x}$ , ta có:
$$ (x + 6)t = - 6 $$
(vô nghiệm vì: $ VT \geq 0 ; VP < 0$)
* Với $ t = \dfrac{-6 + 6t }{x}$ , ta có:
$$ 6 = (6 - x)t$$
Do $ x = 6$ không là nghiệm của phương trình nên:
$$ t = \dfrac{6}{6 - x}\Leftrightarrow \sqrt{x + 1} = \dfrac{6}{6 - x}$$
Bình phương hai vế và rút gọn ta được: $ x = 3$ (thỏa mãn)
Bạn hãy tự giải phương trình dạng tổng quát:
$$ x^2 + ax + 2b\sqrt{x + a} = b^2$$

Ví dụ 12: Giải phương trình
$$ 3(\sqrt{2x^2 + 1} - 1) = x(1 + 3x + 8\sqrt{2x^2 + 1})$$
Lời giải:
Đặt $\sqrt{2x^2 + 1} = t \geq 1$. Phương trình đã cho viết thành:
$$ 3(t - 1) = x + 3(t^2 - 1) - 3x^2 + 8xt \Leftrightarrow 3t^2 - (8x - 3)t - 3x^2 + x = 0$$
Từ đó ta tìm được $ t = \dfrac{x}{3}$ hoặc $ t = 1 - 3x$
Giải ra được: $ x = 0$.

* Nhận xét: Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên. Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó. Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do, việc gải quyết $t $ theo $x$ được thực hiện dễ dàng hơn.

ví dụ 13: Giải phương trình:
$$ 2008x^2 - 4x + 3 = 2007x\sqrt{4x - 3}$$
Lời giải:
ĐK: $ x \geq \dfrac{3}{4}$
Đặt $ \sqrt{4x - 3} = t \geq 0$. Phương trình đã cho trở thành:
$$ 2008x^2 - 2007xt - t^2 = 0$$
Giải ra: $ x = t$ hoặc $ x = - \dfrac{t}{2008}$ (loại)
* $ x = t$ ta có:
$$ x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \\ \end{array} \right.$$
Vậy $ x = 1, x = 3$ là các nghiệm của phương trình đã cho.

ví dụ 14: Giải phương trình:
$$ (4x - 1)\sqrt{x^3 + 1} = 2x^3 + 2x + 1$$
Lời giải:
ĐK: $ x \geq -1$
Đặt $ t = \sqrt{x^3 + 1}$. Phương trình đã cho trở thành:
$$ 2(t^2 - 1) + 2x + 1 = (4x - 1)t \Leftrightarrow 2t^2 - (4x - 1)t + 2x - 1 = 0$$
Phương trình trên đã khá đơn giản. Bạn đọc tự giải.

Theo diendantoanhoc.net