Công thức Newton

Các máy tính sử dụng công thức vòng lặp để giải phương trình. Quá trình này bao gồm phán đoán ra cách giải đúng và áp dụng công thức để đưa ra các phán đoán chính xác hơn cho đến khi ta tìm ra được giá trị (có thể xấp xỉ) đúng nhất của phương trình.

Nếu ta muốn tìm $x$ để $f(x)=0$ (dạng bài toán phổ biến) thì ta đoán một vài giá trị $x_{1}$ gần đúng nhất, từ đó ta sẽ tìm ra giá trị xấp xỉ phù hợp bằng cách sử dụng công thức Newton

$$x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}$$

(Công thức này dựa vào phương trình đường thẳng theo độ dốc)

Ví dụ 1: Giải phương trình $2x^{2}-x-2=0$

Trả lời

Ta có đồ thị phương trình trên

Đặt:

$$f(x)=2x^{2}-x-2\Rightarrow f'(x)=4x-1$$

Thử $x_{1}=1,5$. Ta được:

$$x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}=1,5-\frac{f(1,5)}{f'(1,5)}=1,3$$

Vậy $1,3$ là giá trị xấp xỉ đúng hơn

Tiếp tục quy trình này

$$x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}=1,3-\frac{f(1,3)}{f'(1,3)}=1,2809524$$

Ta có thể làm tiếp quy trình này nhiều lần để tìm ra giá trị chính xác nhất

Kiểm tra: Sử dụng một vài phần mềm toán học (như Mathcad), ta có thể phải nhập vào giá trị dự đoán ban đầu (như $x=2$) và kết quả là: $root(2x^{2}-x-2,x)=1,2807764064044$

Ngoài ra ta có thể sử dụng phím $Shift+solve$ trên máy tính Casio $fx-570-ES$ nhập vào giá trị dự đoán ban đầu thì máy tính cũng đưa ra kết quà này

Hàm số có nhiều nghiệm

Nhiều hàm số có nhiều nghiệm, nên bạn cần phải hiểu rõ vấn đề sau đó cho máy tính một giá trị dự đoán ban đầu tốt nhất.

Ví dụ 2: Giải phương trình $1-t^{2}+2^{t}=0$

(Các phần mềm khoa học không thể tìm cách giải chính xác cho chúng ta. Ta cần biết sử dụng công cụ hợp lý để giải, không hẳn phải dùng đồ thị hay công thức Newton. Điều này sẽ cho ta có đánh giá ban đầu về nghiệm phương trình)

Trả lời

Đặt: $y=1-t^{2}+2^{t}$. Đồ thị hàm số $y(t)$:

Ta dễ có nhận định ban đầu rằng phương trình có hai nghiệm, một nghiệm gần $t=-1$ và nghiệm còn lại gần $t=3$. Tuy nhiên, nếu ta quan sát kỹ hơn khu vực gần $t=3$ (bằng cách phóng to) thì ta phát hiện ra còn một nghiệm nữa.

Bằng cách thay số thì ta được một nghiệm chính xác là $t=3$

Bây giờ với một nghiệm gần $t=3,4$

Ta sẽ dùng công thức Newton để tìm ra giá trị xấp xỉ của nghiệm. Ta cần tính vi phân $y=1-t^{2}+2^{t}$. Bởi vì ta có $t$ đóng vai trò lũy thừa trong phương trình trên, ta cần sử dụng Logarithms khi tính vi phân (các bạn có thể tham khảo cách tính vi phân hàm Logarithms trên Internet, tôi sẽ trình bày rõ hơn trong chương "Vi phân hàm số siêu việt").

Tính vi phân $2^{t}$

Đặt $h=2^{t}$. Lấy Logarithms tự nhiên ở hai vế:

$$\ln h=t\ln 2$$

$$\frac{1}{h}\frac{dh}{dt}=\ln 2$$

$$\frac{dh}{dt}=h\ln 2=2^{t}\ln 2$$

Vậy:

$$\frac{dy}{dt}=f'(t)=-2t+2^{t}\ln 2$$

Áp dụng công thức Newton, ta được:

$$\frac{f(t)}{f'(t)}=\frac{1-t^{2}+2^{t}}{-2t+2^{t}\ln 2}$$

Ta có con số dự đoán ban đầu là $t_{1}=3,4$

$$t_{2}=t_{1}-\frac{f(t_{1})}{f'(t_{1})}=3,4-\frac{f(t_{1})}{f'(t_{1})}=3,407615918$$

Tiếp tục quy trình này:

$$t_{3}=t_{2}-\frac{f(t_{2})}{f'(t_{2})}=3,407615918-\frac{f(t_{2})}{f'(t_{2})}=3,407450596$$

Thêm vài bước nữa, ta được:

$$t_{4}=3,407450522;t_{5}=3.407450505$$

Ta có thể kết luận nghiệm phương trình đúng với $7$ chữ số lẻ là $t = 3.4074505.$

Sử dụng đồ thị:

Sử dụng các phần mềm toán học, ta có thể phóng to nghiệm và ta có thể thấy (nơi hàm số cắt trục $x$) thì $t$ gần với giá trị $3.4074$

Bây giờ ta xét trường hợp âm, giả sử $t_{1}=-1$ là giá trị dự đoán ban đầu, áp dụng công thức Newton, ta được

$$t_{2}=−1,213076633;t_{3}=−1.198322474;t_{4}=−1.198250199$$

Ta có thể tiếp tục quy trình này cho đến khi ta đạt giá trị chính xác nhất.

Đối chiếu đáp số với đồ thị, ta thấy rằng kết quả là $t = -1,198250197$ chính xác đến $9$ chữ số lẻ.

Kết luận:

Vậy kết quả của phương trình $1-t^{2}+2^{t}=0$ là: $t = −1,19825;t=3$. Hay $t = 3,40745$. Chính xác đến $5$ chữ số lẻ

Theo diendantoanhoc.net