Lược sử cách tính số $\pi$

$\pi$ là chữ cái thứ 16 trong bảng chữ cái Hi Lạp cổ đại. Còn trong toán học thì $\pi$ là tỉ lệ giữa chu vi và đường kính của cùng 1 hình tròn bất kỳ, điều này cả nhân loại đã biết từ ngàn năm trước. Cho dù bạn là người giỏi toán hay không, chắc hẳn bạn đã nghe đến con số này. Ai là người đầu tiên khám phá ra giá trị này ? Liệu bất cứ đường tròn nào thì tỉ lệ ấy vẫn cho ra cùng 1 giá trị?

Từ những bản phác thảo trên giấy khoảng 35000 năm trước, sách Kinh thánh đã đề cập đến tỉ lệ này. Vua James Version, vị vua đầu tiên trong tập $7:23$ nói rằng:" Và ông ta đã tạo ra biển nóng chảy, 10 cubit từ chỗ này tràn đến chỗ kia. Nó rất tròn, chiều cao tầm 5 cubit, xoay bằng com-pa được đường tròn dài 30 cubit". Trong kinh Tân ước, biên niên sử thứ 2, tập 4:2 có nói:" Anh ấy thả cái chậu tròn, 15 bước chân từ vành chỗ này đến vành chỗ kia, gọi là biển. Độ sâu khoảng $7\frac{1}{2}$ bước chân và chu vi khoảng 45 bước chân. Những khám phá mơi đây tại Ai Cập cho thấy các công trình kiến trúc ở quốc gia này từ năm 26000 trước Công Nguyên có liên quan đến số $\pi$ bởi vì có một số Kim tự tháp có kích thước là $\pi,\frac{\pi}{2},...$. Có khả năng họ không tính chính xác số $\pi$ mà họ tính xấp xỉ số $\pi=3$. Còn người Babylon tính diện tích hình tròn bằng cách lấy $3$ nhân với bán kính đường tròn bình phương, tức $\pi=3$. Tuy nhiên người ta còn khám phá ra 1 bản viết tay của người Babylon nói rằng $\pi=3.125$. Người Ai Cập cổ đại tính toán diện tích hình tròn theo cách khác bằng công thức $A=(\frac{8}{9}d)^{2}$ với $d$ là đường kính, điều đó tương đương với $\pi=3,16$. Archimedes, sống vào khoảng 250 trước công nguyên,là nhà toán học, nhà phát minh, nhà thiên văn học và kỹ sư. Ông được xem là một nhà khoa học lớn nhất thời đó. Ông là người đầu tiên tính toán được số $\pi$ bằng một công thức. Ông nhận thấy rằng $3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}$ tức $\pi$ cỡ $3.14$. Vậy Archimedes đã làm cách nào để xác định? Ông ta vẽ một hình tròn bán kính bằng $1$, sau đó ông ta lần lượt vẽ các đa giác nội và ngoại tiếp đường tròn, từ từ "bó" cạnh đa giác ngoại tiếp "mở" cạnh đa giác nội tiếp gần với đường tròn. Ông làm cách này và dừng lại khi cạnh đa giác là $96$, khi đó chu vi đa giác là $3.14$. Ông chứng minh công thức sau:

Vẽ đường tròn có bán kính bằng $\frac{1}{2}$. Khi đó ta được chu vi bằng hai lần bán kính nhân $\pi$, tức chu vi bằng $1$. Sau đó ta vẽ 1 đa giác nội tiếp đường tròn

Tăng số cạnh của đa giác.

Ta thấy rằng khi tăng số cạnh đa giác lên thì đa giác gần như trùng với đường tròn. Vì vậy chu vi đa giác gần bằng với chu vi hình tròn. Do đó, Archimedes giả sử 1 đa giác có $n$ cạnh nội tiếp đường tròn tâm $A$. Chọn một cạnh $BC$ nào đó, gọi $D$ trung điểm $BC$, góc $\widehat{BAD}=\theta, BD=DC=a$. Ta có $\Delta BAC$ cân nên $AD \perp BD$, vậy $\sin \theta=\frac{a}{\frac{1}{2}}=2a$. Còn cạnh của đa giác bằng $BD+DC=a+a=2a=\sin \theta.$ Chu vi đa giác bằng số cạnh đa giác nhân độ dài cạnh đa giác đó, tức $n \times \theta$. Bằng kiến thức hình sơ cấp, ta tính được $\theta=\frac{360^{o}}{n}\times \frac{1}{2}$

Vậy cuối cùng ta được công thức tính xấp xỉ số $\pi$ là $n \times \sin(\frac{360^{o}}{n})$. Bây giờ ta cho chạy thử chương trình trên máy tính, ở đây tôi dùng ngôn ngữ lập trình $C++$. Do ngôn ngữ này tính hàm $\sin$ the radian nên tôi mạn phép lấy $\pi$ theo kết quả hiện tại đã có để tính.

Nếu bạn muốn tính giá trị cụ thể khi $a$ bằng bao nhiêu, bạn thay đổi dòng for (a=1;30;++a) thành $a=$ con số cụ thể là được. Ví dụ tôi cho $a=9999999999999999999$ thì kết quả là

Quay lại lịch sử. 400 năm sau Archimedes, Ptolemy sử dụng công thức Archimedes để tính xấp xỉ số $\pi$ và ông ta đã thành công khi tính được $\pi=3.1416$. Vào những năm của Thế kỉ 14, thực sự không mấy ai quan tâm đến số $\pi$ cho tới thời kỳ Phục hưng. Trong thời kỳ này nhiều công thức liên quan đến số $\pi$ xuất hiện. Francois Viete và năm 1593 đã phát triển công thức Archimedes với công thức có ý nghĩa về mặt giải tích, bao gồm tổng và tích vô hạn là $\frac{2}{\pi}=\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}+\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}}+...$. Với sự phát triển mạnh về Vi tích phân đã thúc đẩy sự phát triển của toán học, từ đó đã khám phá ra mối tương quan giữa chuỗi vô hạn và $\pi$. Vào năm 1665, ngài Issac Newton đã khám phá ra $\arcsin (x)$ có liên quan đến $\pi$ với $\arcsin (x)=x+\frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{x^{5}}{5}+\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.\frac{x^{7}}{7}+...$, Nhiều công thức mới xuất hiện trong khoảng thời gian này. John Wallis xuất bản cuốn Opera mathematica vào năm 1695, lần đầu tiên giới thiệu về hàm số liên tục. John thấy rằng $\pi$ có thể viết dưới dạng hàm số có phân số bậc thang, tức: $\pi=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\frac{1}{1+\frac{1}{...}}}{}}}}$. Ông cũng chứng minh rằng phân số $\frac{2}{\pi}$ bằng với tích các cặp số lẻ nhân vô hạn chia cho tích các cặp số chẵn nhân vô hạn. Những cách làm với các hằng ố sẽ tự nhiên hơn rất nhiều so với cách hình học.James Gregory, nhà toán học châu Âu phát triển thêm 1 cách tính số $\pi$. Ông ta nhận ra rằng khi lấy các phân số có mẫu số lẻ và các phép toán cộng, trừ thích hợp. ta sẽ được 1 giá trị gần bằng với $\frac{\pi}{4}$, tức $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...=\frac{\pi}{4}$. Không lâu sau, Gottfried Lebniz vào năm 1646 đã phát triển hơn công thức của James và đưa đến công thức $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}=\frac{\pi}{4}$. Tuy nhiên có 1 rắc rối khi tính số $\pi$ đó là để tính $pi$ đúng với 46 chữ số cần đến giới hạn 5000000. Việc tính xấp xỉ số $\pi$ dần trở nên rắc rối. John Machin đã phát triển 1 công thức vào năm 1706 mà tới nay vẫn được máy tính sử dụng rất nhiều đó là $\frac{\pi}{4}=\arctan(\frac{1}{2})+\arctan(\frac{1}{3})$. Một người Anh tên William Shanks vào năm 1873 sử dụng công thức trên và tính $\pi$ đúng với 707 chữ số và được sử dụng trong nhiều năm

Năm 1761, Johann Lambert đã chứng minh $\pi$ và số vô ti=ỷ, tức số $\pi$ sẽ không bao giờ kết thúc hay có chu kỳ tuần hoàn. Vào năm 1794, Adrien Marie chứng minh $\pi^{2}$ là số vô tỷ. Vào năm 1882, Ferdinand von Lindermann chứng minh rằng $\pi$ là số siêu việt. John Louis von Neumann, người nổi tiếng với câu nói:" Nếu ai không tin rằng toán đơn giản tức họ không nhận ra cuộc sống phức tạp như thế nào" tin vào sự đơn giản của toán học với phát minh của máy tính vào năm 1949. Và lần đầu tiên trong lịch sử nhân loại, Neumann đã sử dụng máy tính ENIAC vào năm 1949 để tính xấp xỉ số $\pi$ chính xác với 2037 chữ số. Sau đây là hình ảnh giúp ta thấy rõ sự tiện ích của máy tính so với việc tính tay.

Ta thấy rằng những người sử dụng cách của Neumann đã tính xấp xỉ số $\pi$ chính xác hơn và tốn ít thời gian hơn. Qua mỗi năm, số lượng chữ số $\pi$ gia tăng theo hàm mũ. Ngày nay các siêu máy tính đã tính được đến hàng tỉ chữ số $\pi$. Ngoài ra còn có câu lạc bộ Pi 1000 dành cho những ai có khả năng nhớ nhiều chữ số $\pi$ nhất. Akira Haraguchi đã nhớ đến 100000 chữ số $\pi$ và đọc nó trong 16 tiếng đồng hồ.

Giả sử từ $1$ đến $9$ ứng với mỗi màu sắc khác nhau thì số $\pi$ sẽ được viết thành

Khi chuyển sang dạng xoắn ốc thì hình trên thành

Ta viết từ 1 đến 9 theo đường tròn và nối các chữ số theo thứ tự số $\pi$ với nhau, tứ 3 nối với 1, 1 nối với 4, 4 nối với 1, 1 nối với 5,... thêm một chút khéo tay, ta được hình sau.

Bạn thấy đấy, số $\pi$ đâu có quá khô khan đúng không.

Võ Hoàng Trọng
Theo diendantoanhoc.net